Question

如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點P為AB邊上一點，DP交AC于點Q．
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）當PD⊥AC時，求線段PA的長度．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,矩形的性質

專題：

分析：（1）根據矩形的性質，可得出AB∥CD，從而得出∠PAQ=∠DCQ，∠QPA=∠QDC，利用兩角對應相等的三角形相似得出結論；
（2）由PD⊥AC，得∠ACD+∠PDC=90°，從而得出∠ACD=∠PDA，可證明△ADC∽△PAD，由相似比得出PA的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠PAQ=∠DCQ，∠QPA=∠QDC，
∴△APQ∽△CDQ．
（2）解：∵PD⊥AC，
∴∠ACD+∠PDC=90°，
∵∠PDA+∠PDC=90°，
∴∠ACD=∠PDA，
∵∠ADC+∠PAD=90°，
∴△ADC∽△PAD，
∴

AD

PA

=

DC

AD

，
∴

5

PA

=

10

5

，
∴PA=2.5．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質以及矩形的性質，綜合性強，難度不大．