Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，CD=cm，AD=24cm，BC=26cm，AB為⊙O的直徑．動點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AD邊向點(diǎn)D以1 厘米/秒的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以3厘米/秒的速度運(yùn)動，P、Q 分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t 秒，求：
（1）求⊙O的直徑；
（2）求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運(yùn)動時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；并求t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使直線PQ與⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，
∴BE=AD=24，
又∵BC=26，
∴EC=2，…
在Rt△DCE中，由于CD=，
則DE=，
所以⊙O的直徑為8厘米．…

（2）當(dāng)P，Q運(yùn)動t秒時(shí)，由點(diǎn)P，Q的運(yùn)動速度為1厘米/秒和3厘米/秒，
則AP=t厘米；CQ=3t厘米
所以PD=（24-t）厘米，BQ=（26-3t）厘米，…
所以四邊形PQCD的面積為：y=…
則：=
即：y=8t+96…
當(dāng)四邊形PQCD為平行四邊形時(shí)
則：PD=CQ
∴24-t=3t …
解得：t=6厘米
即t=6厘米時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形． …

（3）存在． …
若PQ與圓相切，切點(diǎn)G，作PH⊥BC于H，
所以PH=AB=8，AP=t，
BH=QB-HQ=（26-3t）-t=26-4t，PQ=BQ+AP=26-2 t，…
根據(jù)勾股定理得PQ²=PH²+QH²，
所以（26-2t）²=64+（26-4t）²，…
解得t₁=，t₂=8，…
因?yàn)閠₁=和t₂=8都在內(nèi)，所以在t=秒或t=8秒時(shí)，存在直線PQ與圓相切．…

分析：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，在Rt△DCE中，利用勾股定理求解即可；
（2）AP=t厘米，CQ=3t厘米，PD=（24-t）厘米，BQ=（26-3t）厘米，四邊形PQCD的面積為：y=，代入即可求出函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)四邊形PQCD為平行四邊形時(shí)，PD=CQ，24-t=3t，繼而求出t值．
（3）若PQ與圓相切，切點(diǎn)G，作PH⊥BC于H，所以PH=AB=8，AP=t，QH=QB-HQ=（26-3t）-t=26-4t，PQ=BQ+AP=26-2t，根據(jù)勾股定理得PQ²=PH²+QH²，然后代入求值判斷即可．
點(diǎn)評：本題考查直角梯形的知識，同時(shí)考查了平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是對這些知識的熟練掌握及靈活運(yùn)用．