Question

如圖，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，與雙曲線y＝

(x＞0)交于點(diǎn)B(2，1)．過(guò)點(diǎn)P(p，p－1)(p＞1)作x軸的平
行線分別交雙曲線y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于點(diǎn)M、N．
(1)求m的值和直線l的解析式；
(2)若點(diǎn)P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA；
(3)是否存在實(shí)數(shù)p，使得S_△AMN＝4S_△AMP？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的p的值；若
不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)由點(diǎn)B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。

          設(shè)直線l的解析式為，由點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(2，1)在上，得

                     ，，解之，得
∴所求直線l的解析式為。
(2)點(diǎn)P(p，p－1)在直線y＝2上，∴P在直線l上，是直線y＝2和l的交點(diǎn)，見(jiàn)圖（1）。
∴根據(jù)條件得各點(diǎn)坐標(biāo)為N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。
∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，
BP＝ 
∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。
         ∴△PMB∽△PNA。
(3)S_△AMN＝。下面分情況討論：
?當(dāng)1＜p＜3時(shí)，延長(zhǎng)MP交X軸于Q，見(jiàn)圖（2）。設(shè)直線MP為則有
         解得 
         則直線MP為
         當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，0）。       
則，
由2＝4有，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。
?當(dāng)p＝3時(shí)，見(jiàn)圖（1）S_△AMP＝＝S_△AMN。不合題意。
?當(dāng)p>3時(shí)，延長(zhǎng)PM交X軸于Q，見(jiàn)圖（3）。
此時(shí)，S_△AMP大于情況?當(dāng)p＝3時(shí)的三角形面積S_△AMN。故不存在實(shí)數(shù)p，使得S_△AMN＝4S_△AMP。                                      
綜上，當(dāng)p＝時(shí)，S_△AMN＝4S_△AMP。

解析