Question

已知拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1（m為常數(shù)）．
（1）若拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，求m的整數(shù)值；
（2）在（1）問(wèn)條件下，若拋物線頂點(diǎn)在第三象限，試確定拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)M（x₁，y₁）與點(diǎn)N（x₁+k，y₂）在（2）中拋物線上 （點(diǎn)M、N不重合），且y₁=y₂．求代數(shù)式的值．

Answer 1

解：（1）由題意可知，△=（2m-1）²-4（m²-1）=5-4m＞0，
又∵拋物線與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，
∴5-4m為平方數(shù)，
設(shè)k²=5-4m，則滿足要求的m值為1，-1，-5，-11，-19…
∴滿足題意的m為整數(shù)值的代數(shù)式為：-n²+n+1（n為正整數(shù)）．
（2）∵拋物線頂點(diǎn)在第三象限，
∴只有m=1符合題意，
拋物線的解析式為y=x²+x．
（3）∵點(diǎn)M（x₁，y₁）與N （x₁+k，y₂）在拋物線y=x²+x上，
∴，，
∵y₁=y₂，
∴，
整理得：k（2x₁+k+1）=0，
∵點(diǎn)M、N不重合，
∴k≠0，
∴2x₁=-k-1，
∴==6．
分析：（1）根據(jù)題意可得方程x²+（2m-1）x+m²-1=0有兩個(gè)不等整數(shù)根，從而得出5-4m為平方數(shù)，然后根據(jù)m的特點(diǎn)，即可確定滿足題意的m為整數(shù)值代數(shù)式；
（2）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在第三象限，可確定m的值，也可確定解析式；
（3）將點(diǎn)M、點(diǎn)N代入，結(jié)合y₁=y₂，可得出x₁的方程，從而求出x₁與k的關(guān)系，利用整體代入可得出代數(shù)式的值．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了一元二次方程的判別式的知識(shí)，及整體思想的運(yùn)用，難度較大，解答第一問(wèn)的難點(diǎn)在于求出滿足題意的m整數(shù)值的代數(shù)式．