Question

（2013•鄧州市一模）已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（14，0）和C（0，-8），對稱軸為x=4．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC，若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng)，問是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時(shí)的時(shí)間t（秒）和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的結(jié)論下，直線x=1上是否存在點(diǎn)M使△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（14，0）和C（0，-8），對稱軸為x=4，根據(jù)待定系數(shù)法可以求得該拋物線的解析式；
（2）假設(shè)存在，設(shè)出時(shí)間t，則根據(jù)線段PQ被直線CD垂直平分，再由垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理來求解t，看t是否存在；
（3）假設(shè)直線x=1上是存在點(diǎn)M，使△MPQ為等腰三角形，此時(shí)要分兩種情況討論：①當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)；②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn)；然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的勾股定理求出M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線過C（0，-8），
∴c=-8，即y=ax²+bx-8，
由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（14，0）及對稱軸為x=4可得

- b 2a =4 196a+14b-8=0

，
解得：

a= 2 21 b=- 16 21

，
∴該拋物線的解析式為y=

2

21

x²-

16

21

x-8．
（2）

存在直線CD垂直平分PQ．
由函數(shù)解析式為y=

2

21

x²-

16

21

x-8，可求出點(diǎn)A坐標(biāo)為（-6，0），
在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=

100

=10=AD，
故可得OD=AD-OA=4，點(diǎn)D在函數(shù)的對稱軸上，
∵線CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
由AD=AC可得，∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
又∵DB=AB-AD=20-10=10=AD，
∴點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，
∴DQ為△ABC的中位線，
∴DQ=

1

2

AC=5，
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）時(shí)，線段PQ被直線CD垂直平分．
在Rt△BOC中，BC=

OC2+OB2

=

82+142

=2

65

，
而DQ為△ABC的中位線，Q是BC中點(diǎn)，
∴CQ=

65

，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒

65

5

單位長度；
（3）存在，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，則QH=

1

2

OC=4，PH=OP+OH=1+7=8，

在Rt△PQH中，PQ=

42+82

=

80

=4

5

，
①當(dāng)MP=MQ，即M為頂點(diǎn)，則此時(shí)CD與PQ的交點(diǎn)即是M點(diǎn)（上面已經(jīng)證明CD垂直平分PQ），
設(shè)直線CD的直線方程為：y=kx+b（k≠0），
因?yàn)辄c(diǎn)C（0，-8），點(diǎn)D（4，0），
所以可得直線CD的解析式為：y=2x-8，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-6，
∴M₁（1，-6）；
②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)．
設(shè)直線x=1上存在點(diǎn)M（1，y），因?yàn)辄c(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，0），
從而可得PM²=2²+y²，
又PQ²=80，
則2²+y²=80，
即y=±

76

，
∴M₂（1，2

19

），M₃（1，-2

19

）；
③當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（7，-4），
設(shè)直線x=1存在點(diǎn)M（1，y），
則QM²=6²+（y+4）²=80，
解得：y=2

11

-4或-2

11

-4；
∴M₄（1，-4+2

11

），M₅（1，-4-2

11

）；
綜上所述：存在這樣的五點(diǎn)：
M₁（1，-6），M₂（1，2

19

），M₃（1，-2

19

）M₄（1，-4+2

11

），M₅（1，-4-2

11

）．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合題，難度較大，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，還考查等腰三角形的性質(zhì)，同時(shí)還讓學(xué)生探究存在性問題，對待問題要思考全面，學(xué)會(huì)分類討論的思想．