Question

（2013•鄧州市一模）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線段BA-AD以每秒5個單位長的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動；點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．
（1）點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A、D的時間分別為

10

秒和

25

秒；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BA邊上運(yùn)動時，過點(diǎn)P作PN∥BC交DC于點(diǎn)N，作PM⊥BC，垂足為M，連接NQ，已知△PBM與△NCQ全等．
①試判斷：四邊形PMQN是什么樣的特殊四邊形？答：

矩形

；
②若PN=3PM，求t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動時，是否存在PQ=DC？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB=50，AD=75點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線段BA-AD以每秒5個單位長的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動即可直接得出結(jié)論；
（2）①先由PM⊥BC可知∠PMQ=90°，再由△PBM≌△NCQ即可得出PM=NQ，∠NQC=∠PMB=90°，故可得出四邊形PMQN是矩形；
②依題意可得：BP=5t，CQ=3t，BM=CQ=3t，在Rt△PBM中利用勾股定理即可求出PM的長，再由PN=3PM即可求出t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在AD上（即10≤t≤25）時，存在PQ=DC．有下列兩種情況：
①當(dāng)PQ∥DC時，由于PD∥QC，所以四邊形PQCD是平行四邊形，根據(jù)四邊形的對邊相等即可得出t的值；
②當(dāng)PQ∥AB時，由AP∥BQ，可知四邊形ABQP是平行四邊形，根據(jù)四邊形的對邊相等即可得出t的值．

解答：解：（1）∵AB=50，AD=75點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線段BA-AD以每秒5個單位長的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動，
∴當(dāng)點(diǎn)P于點(diǎn)A重合時，t=

AB

5

=

50

5

=10；
當(dāng)點(diǎn)P于點(diǎn)D重合時，t=

AB+AD

5

=

50+75

5

=25．
故答案為：10和25；

（2）①∵PM⊥BC，
∴∠PMQ=90°，
∵△PBM≌△NCQ，
∴PM=NQ，∠NQC=∠PMB=90°，
四邊形PMQN是矩形
②依題意可得：BP=5t，CQ=3t，BM=CQ=3t
∴MQ=BC-2CQ=135-6t
∵四邊形PMQN是矩形
∴PN=MQ=135-6t
∵PM⊥BC
∴∠PMB=90°
根據(jù)勾股定理，得：PM=

PB2-BM2

=

(5t)2-(3t)2

=4t，
∵PN=3PM，135-6t=3×4t
解得：t=7.5；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在AD上（即10≤t≤25）時，存在PQ=DC．有下列兩種情況：
①如圖1，當(dāng)PQ∥DC時，
∵PD∥QC
∴四邊形PQCD是平行四邊形
∴PQ=DC，PD=QC
此時135-5t=3t
解得：t=

135

8

；

②如圖2，當(dāng)PQ∥AB時，
∵AP∥BQ
∴四邊形ABQP是平行四邊形
∴AP=BQ
即：5t-50=135-3t
解得：t=

185

8

．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動時，存在PQ=DC，t=

135

8

或t=

185

8

點(diǎn)評：本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)，解答此題時要注意分類討論，不要漏解．