Question

若平面內(nèi)有一正方形ABCD，M是該平面內(nèi)任意點(diǎn)，則

MA+MC

MB+MD

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理

專題：計(jì)算題

分析：過點(diǎn)M作MF⊥AD交AD的延長線與點(diǎn)F，作ME垂直BC交BC的延長線與點(diǎn)E，則可得出MA²+MC²=MB²+MD²，利用余弦定理表示出AC²、BD²，根據(jù)AC=BD可得出

MA•MC

MB•MD

的值，進(jìn)而表示出

MA+MC

MB+MD

，轉(zhuǎn)化為求

MA•MC

MB•MD

的最小值，然后可判斷出點(diǎn)M的位置．

解答：解：過點(diǎn)M作MF⊥AD交AD的延長線與點(diǎn)F，作ME垂直BC交BC的延長線與點(diǎn)E，如圖，

∵M(jìn)A²+MC²=MF²+AF²+ME²+CE²，MB²+MD²=BE²+ME²+DF²+FM²，DF=CE，AF=BE，
∴MA²+MC²=MB²+MD²，
又∵AC²=MA²+MC²-2MA•MC•cos∠AMC，BD²=MB²+MD²-2MB•MD•cos∠BMD，AC=BD，
∴MA•MC•cos∠AMC=MB•MD•cos∠BMD，

MA•MC

MB•MD

=

cos∠BMD

cos∠AMC

，
∵

MA+MC

MB+MD

=

MA2+MC2+2MA•MC MB2+MD2+2MB•MD

，
又∵M(jìn)A²+MC²=MB²+MD²，
∴當(dāng)

cos∠BMD

cos∠AMC

最小時(shí)，這個(gè)值最小，所以當(dāng)∠BMD=90°，∠AMC=0°時(shí)最小，即點(diǎn)M與點(diǎn)A、C重合時(shí)，
此時(shí)

MA+MC

MB+MD

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理的知識(shí)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是將原式的最小值轉(zhuǎn)化為求

cos∠BMD

cos∠AMC

最小值，另外要求我們熟練掌握勾股定理的應(yīng)用．