Question

設(shè)AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線交直線AB于點D，設(shè)⊙O的半徑是2，當(dāng)△ACD是等腰三角形時，它的面積是

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：分類討論

分析：分兩種情況考慮：（i）當(dāng)AC=CD時，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，連接OC，BC，過C作CE⊥AD，由CD為圓O的切線，根據(jù)弦切角等于夾弧所對的圓周角可得出∠DCB=∠CAD，由AC=CD，利用等邊對等角可得∠CDA=∠CAD，等量代換得到∠BCD=∠CDA，由∠CBO為三角形BCD的外角，∠COB為三角形AOC的外角，利用外角性質(zhì)及等量代換可得∠CBO=∠COB，利用等角對等邊可得BC=OC，又OC=OB，可得三角形BOC為邊長為2的等邊三角形，求出等邊三角形的高CE的長，同時得到DB=OB=OA=2，可得AD的長，由AD及AD邊上的高CE，利用三角形的面積公式即可求出三角形ACD的面積；
（ii）當(dāng)AC=AD時，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，連接BC，OC，過C作CM⊥BD，由CD為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC與CD垂直，得到一個直角，再由直徑所對的圓周角為直角得到一個直角，根據(jù)同角的余角相等可得∠ACD=∠OCB，再利用外角性質(zhì)及等量代換可得∠CAO=∠COA，利用等角對等邊可得CO=CA，由OA=OC，可得三角形AOC為邊長為2的等邊三角形，求出等邊三角形的高CM，同時求出AB及BD的長，由三角形BCD的面積減去三角形ABC的面積可求出三角形ACD的面積．

解答：解：分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)AC=CD時，根據(jù)題意畫出圖形如下：

連接OC，BC，過C作CE⊥AD，
∵CD為圓O的切線，
∴∠DCB=∠CAD，
又∵AC=CD，
∴∠CDA=∠CAD，
∴∠BCD=∠CDA，
∵∠OBC為△BCD的外角，
∴∠OBC=∠BCD+∠CDA=2∠CDA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠BOC為△AOC的外角，
∴∠BOC=∠OCA+∠CAD=2∠CAD，
∴∠CBO=∠COB，
∴CO=CB，又OC=OB，
∴OC=OB=BC，又圓O的半徑是2，
∴△OBC為邊長為2的等邊三角形，
∴CE=

3

2

×2=

3

，DB=OB=OA=2，
∴AD=DB+OB+OA=6，
此時S_△ACD=

1

2

AD•CE=3

3

；
（ii）當(dāng)AC=AD時，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，

連接BC，OC，過C作CM⊥BD，
∵AC=AD，∴∠ACD=∠D，
∵∠CAO為△ACD的外角，
∴∠CAO=∠ACD+∠D=2∠ACD，
又∵CD為圓O的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
又AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠ACD=∠OCB，
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠ACD=∠OBC，
又∵∠COA為△BOC的外角，
∴∠COA=∠OCB+∠OBC=2∠OBC，
∴∠CAO=∠COA，
∴CO=CA，又OA=OC，
∴OC=OA=AC，又OC=2，
∴△AOC為邊長為2的等邊三角形，
∴CM=

3

2

×2=

3

，BO=AO=AD=2，
∴AB=4，BD=6，
∴S_△ACD=S_△BCD-S_△ABC=

1

2

BD•CM-

1

2

AB•CM=3

3

-2

3

=

3

，
綜上，△ACD的面積為3

3

或

3

．
故答案為：3

3

或

3

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外角性質(zhì)，以及等邊三角形的判定，利用了數(shù)形結(jié)合、分類討論及轉(zhuǎn)化的思想，其中根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，連出相應(yīng)的輔助線是本題的突破點．