Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），聯(lián)結(jié)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求拋物線平移的距離．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）拋物線平移的距離為．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)及對(duì)稱軸可以先得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A,B的坐標(biāo)代入表達(dá)式即可求出結(jié)果，進(jìn)而得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由∠PCB=∠ACB和∠ABC=45°聯(lián)想到構(gòu)造全等三角形，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn),過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可得出，再由，可得出.設(shè)PM=a,用a表示出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入解析式，可求出a的值，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),可得，根據(jù)，得，用含m的式子表示出OE,QF的長(zhǎng)，然后列出關(guān)于m的方程，求出m即可.

解：（1）∵的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

將、代入，得

解得：

所以，．

當(dāng)時(shí)，，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)．過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

∵，∴四邊形為矩形．

∴，．

∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∵，∴．

∵，∴，

又∵，∴，即．

∴．∴．

設(shè)，則，．

∴．

將代入，得

．

解得，（舍）．∴．

（3）設(shè)拋物線平移的距離為,如圖．得，

∴的坐標(biāo)為．

過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

∵，

∴，，

∴，

∴．

∴．

∴．

解得．

即拋物線平移的距離為．