Question

如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在⊙O上，AD，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，直徑AD=10，OE=13，且∠EDC=∠ABC．
（1）求證：；
（2）計(jì)算CE•BE的值；
（3）探究：BE的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，可得△ABE和△DCE中的兩組對(duì)應(yīng)角相等，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明；
（2）根據(jù)已知條件可以計(jì)算出DE和AE的長(zhǎng)，再根據(jù)割線定理得到CE•BE的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)切線的性質(zhì)和AE的長(zhǎng)確定它的取值范圍．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠CDE=∠B，∠DCE=∠A；
∴△CDE∽△ABE；
∴．

（2）解：根據(jù)題意得DE=13-5=8，AE=10+8=18；
根據(jù)割線定理得CE•BE=AE•DE=144．

（3）解：若點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，即BE和圓相切，則根據(jù)勾股定理得BE=12；
∴12≤BE＜18．
點(diǎn)評(píng)：此題能夠綜合考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、割線定理、切線的性質(zhì)定理和勾股定理．