Question

（2000•河南）如圖，兩個(gè)同心圓的圓心為O，大圓的弦AD交小圓于B、C，大圓的弦AF切小圓于E，經(jīng)過(guò)B、E的直線交大圓于M、N．
（1）求證：AE²=BN•EN；
（2）如果AD經(jīng)過(guò)圓心O，且AE=EC，求∠AFC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過(guò)O作OP⊥MN交MN與P，根據(jù)垂徑定理P是MN，BE的中點(diǎn)，可以得到MB=NE，同理可得AB=CD，再利用切割線定理和相交弦定理就可以得到結(jié)論；
（2）如圖當(dāng)AD經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，根據(jù)AE是圓的切線和垂徑定理可以得到AE=EF，而AE=EC；再根據(jù)這兩個(gè)條件可以判斷△AFC是直角三角形，從而得到∠AFC的度數(shù)．
解答：解：（1）過(guò)O作OP⊥MN交MN與P，
根據(jù)垂徑定理可知P是MN，BE的中點(diǎn)，即MB=NE，
同理可得AB=CD，
∵AF切小圓于E，
∴AE²=AB•AC．
∵AB=CD，
∴AC=BD，
∴AE²=AB•AC=AB•BD．
又∵AB•BD=BM•BN，MB=NE，
∴AB•BD=BM•BN=EN•BN．
∴AE²=EN•BN．

（2）連接OE，則OE⊥AF，

∴AE=EF；
∵AE=EC，
∴AE=EF=EC，
∴△ACF是直角三角形；
∴∠ACF=90°．
故可得出FC是小圓的切線，
∴FE=FC=AE=EC，即△EFC是等邊三角形，
∴∠AFC=60°．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，相交弦定理，切割線定理，圓周角定理的推論，綜合性比較強(qiáng)．