Question

如圖在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上的一點(diǎn)，EC⊥BC，EC=BD
（1）證明：△ABD≌△ACE；
（2）證明：AD⊥AE；
（3）若AF⊥DE，F(xiàn)為垂足，AG=GC，則FG與AC有怎樣的位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACE=45°，從而得到∠B=∠ACE，再利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAD=∠CAE，再求出∠DAE=∠BAC，然后根據(jù)垂直的定義證明即可；
（3）連接CF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=AE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AF=DF=EF=

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2

DE，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CF=

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2

DE，從而得到AF=CF，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)解答．

解答：（1）證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=90°-45°=45°，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠B=∠ACE EC=BD

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）證明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°，
∴AD⊥AE；

（3）解：FG⊥AC．
理由如下：連接CF，∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∵AF⊥DE，AD⊥AE，
∴AF=DF=EF=

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DE，
∵EC⊥BC，
∴CF=

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DE，
∴AF=CF，
又∵AG=GC，
∴FG⊥AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，（3）作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．