Question

如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，∠A=60°，直徑DE∥BC，AB、AC分別與DE相交于點(diǎn)F、G，若⊙O的半徑為2，則線段FG的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),垂徑定理

專題：

分析：過O作OJ⊥BC交點(diǎn)J，利用垂徑定理可求得BC的長，連接AO并延長交BC于點(diǎn)H，則可得

FG

BC

=

AO

AH

=

AO

AO+OH

，所以可知當(dāng)OH最小時(shí)FG有最大值，即OH=OJ時(shí)FG有最大值，代入可得出答案．

解答：解：如圖，過O作OJ⊥BC交點(diǎn)J，連接AO并延長交BC于點(diǎn)H，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠OBJ=30°，且OB=2，
∴OJ=1，BJ=CJ=

3

，
∴BC=2

3

，
∵DE∥BC，
∴

FG

BC

=

AO

AH

=

AO

AO+OH

，即

FG

2 3

=

2

2+OH

，
∴FG=

4 3

2+OH

，
∴當(dāng)OH最小時(shí)FG有最大值，即OH=OJ=1時(shí)FG有最大值，
此時(shí)FG=

4 3

3

，
故答案為：

4 3

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查平行線分線段成比例，利用條件把FG用OH表示出來，判斷出何時(shí)FG有最大值是解題的關(guān)鍵．