Question

如圖，⊙O的半徑為2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中點(diǎn)．
（1）如圖①，試說(shuō)明：點(diǎn)O、E關(guān)于AB對(duì)稱（即AB垂直平分OE．）；
（2）把劣弧AB沿直線AB折疊（如圖②）⊙O的動(dòng)弦CD始終與折疊后的弧AB相切，求CD的長(zhǎng)度的變化范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用垂徑定理得出OE⊥AB，且AC=BC，∠AOE=∠BOE=∠AOB，進(jìn)而得出△AOE是等邊三角形，再利用三線合一求出即可；
（2）利用當(dāng)弦CD過(guò)圓心O時(shí)最長(zhǎng)，即是直徑，CD=4，再利用當(dāng)弦CD過(guò)A或B與折疊后的弧相切時(shí)最短分別求出即可．
解答：（1）證明：連接OA，OB，AE，BE，OE，且AB與OE交于點(diǎn)C．
∵E是劣弧AB的中點(diǎn)，∴OE⊥AB，且AC=BC（垂徑定理），
∠AOE=∠BOE=∠AOB．
∵=120°，∴∠AOB=120，∠AOE=∠BOE=60°．
∵AO=OE，∴△AOE是等邊三角形．
∴OC=EC（等腰三角形“三線合一”）
∴AB垂直平分OE．
因此，點(diǎn)O，E關(guān)于AB對(duì)稱．

（2）解：當(dāng)弦CD過(guò)圓心O時(shí)最長(zhǎng)，即是直徑，CD=4；
當(dāng)弦CD過(guò)A或B與折疊后的弧相切時(shí)最短．這時(shí)CD與AE垂直（假設(shè)C與點(diǎn)A重合）．
連接DE，則DE過(guò)圓心O（直角所對(duì)的弦是直徑），
∵∠AED=60度（在證對(duì)稱時(shí)已證），
AE=AO=2，ED=4，所以，AD==2．
CD的長(zhǎng)度變化范圍是：．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及垂徑定理的推論和勾股定理，利用分類(lèi)討論思想得出CD最大和最小是解題關(guān)鍵．