Question

關(guān)于二次函數(shù)y=mx²-x-m+1（m≠0）．以下結(jié)論：①不論m取何值，拋物線總經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；②若m＜0，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，則AB＞2；③當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)值y≥0；④若m＞1，則當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大．其中正確的序號(hào)是（　　）

A．①②

B．②③

C．①②④

D．①③④

Answer 1

分析：①令y=0，利用因式分解法求得相應(yīng)的x的值，即該函數(shù)所經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；
②根據(jù)AB=|x₁-x₂|求解；
③需要對(duì)m的取值進(jìn)行討論：當(dāng)m≤1時(shí)，y≤0；
④根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸方程以及單調(diào)性進(jìn)行判斷．

解答：解：①由二次函數(shù)y=mx²-x-m+1（m≠0），得
y=[m（x+1）-1]（x-1）；
令y=0，則m（x+1）-1=0或x-1=0，即x₁=

1-m

m

，x₂=1，
所以該函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（

1-m

m

，0）、（1，0），
∴無論m取何值，拋物線總經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；
故本選項(xiàng)正確；

②若m＜0時(shí)，AB=|x₂-x₁|=|1-

1-m

m

|=|2-

1

m

|＞|2|=2，即AB＞2；故本選項(xiàng)正確；

③根據(jù)題意，得
y=m³-2m+1=（m-1）（m²+m-1）（m≠0），
∵m²＞0，
∴m²+m-1＞m-1，
當(dāng)m-1≤0，即m≤1時(shí)，
（m-1）（m²+m-1）≤（m-1）²，
∵（m-1）²≥0，
∴（m-1）（m²+m-1）≤0或（m-1）（m²+m-1）≥0，
即y≤0或y≥0；
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④當(dāng)m＞1時(shí)，x₁=

1-m

m

＜0＜x₂，且拋物線該拋物線開口向上，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，該函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，即y隨x的增大而增大．
故本選項(xiàng)正確；
綜上所述，正確的說法有①②④．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的圖象以及二次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度一般．