Question

【題目】如圖，在在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)C（0，6）是拋物線與y的交點(diǎn)．

（1）求拋物線與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)（A在B的左邊）；

（2）設(shè)直線y＝h（h為常數(shù)，0＜h＜6）與直線BC交于點(diǎn)D，與y交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，連AE，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，0）．

①求h為何值時(shí)，△AEF的面積S最大；

②問：是否存在這樣的直線y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出h的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（2，0）；（2）①當(dāng)h＝3時(shí)，△AEF的面積S最大；②存在直線y＝h使△BDM是等腰三角形，當(dāng)h＝時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)h＝時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2﹣，）．

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+）2+，將C（0，6）代入拋物線即可求a，再令y=0從而可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）分別求出直線AC的解析式為y＝2x+6，直線BC的解析式為y＝﹣3x+6，①根據(jù)題意可得E（0，h），F（h﹣3，h），則S＝×h×（3﹣h），將解析式化為頂點(diǎn)式可求得△AEF的面積S最大；②先求出D（2﹣h，h），BM＝4，再分以下三種情況求解：當(dāng)MB＝MD=4時(shí)，根據(jù)MD2＝16，結(jié)合勾股定理列出關(guān)于h的方程，求出h以及點(diǎn)D坐標(biāo)；當(dāng)MB＝DB=4時(shí)，根據(jù)DB2＝16，結(jié)合勾股定理列出關(guān)于h的方程，求出h以及點(diǎn)D坐標(biāo)；當(dāng)MD＝BD時(shí)，因?yàn)?/span>O為BM的中點(diǎn)，且y軸垂直平分BM，則點(diǎn)D在y軸上，此時(shí)不成立．

解：（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+）2+，

又C（0，6）在拋物線上，

∴6＝a+，

∴a＝﹣1，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+6，

令y=0，得﹣x2﹣x+6=0，解得x1=-3，x2=2，

∴A（﹣3，0），B（2，0）；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A(-3，0)，點(diǎn)C(0，6)代入解析式得，

，解得，

∴直線AC的解析式為y＝2x+6，

同理可求得直線BC的解析式為y＝﹣3x+6，

①根據(jù)題意可得E（0，h），

又點(diǎn)F在直線AC上，且點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為h，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（h﹣3，h），

∴S＝×h×（3﹣h）＝﹣h2+h＝﹣（h﹣3）2+，

當(dāng)h＝3時(shí)，△AEF的面積S最大；

②∵點(diǎn)D在直線BC上，且點(diǎn)D的縱坐標(biāo)h，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2﹣h，h），

∵M的坐標(biāo)為（﹣2，0），∴BM＝4，

當(dāng)MB＝MD時(shí)，MD＝4，

∴MD2=+h2＝16，

∴h＝或h＝0，

∵0＜h＜6，

∴h＝，

∴D（，）；

當(dāng)MB＝DB時(shí)，

h2+h2＝16，

∴h＝±，

∴h＝，

∴D（2﹣，）；

當(dāng)MD＝BD時(shí)，

又因?yàn)?/span>O為BM的中點(diǎn)，且y軸垂直平分BM，則點(diǎn)D在y軸上，

∴此時(shí)不成立．

綜上所述，存在直線y＝h使△BDM是等腰三角形，當(dāng)h＝時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)h＝時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2﹣，）．