精英家教網(wǎng)已知:等邊△ABC中,AB、cosB是關(guān)于x的方程x2-4mx-
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x+m2=0的兩個實(shí)數(shù)根.若D、E分別是BC、AC上的點(diǎn),且∠ADE=60°,設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并說明當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到什么位置時,y有最小值,并求出y的最小值.
分析:本題可先根據(jù)cosB的值求出AB的長,然后通過證△ABD和△DCE相似,得出關(guān)于AB,CD,BD,CE的比例關(guān)系式,即可得出關(guān)于y,x的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出y的最小值.
解答:解:∵△ABC是等邊三角形,
∴cosB=cos60°=
1
2

AB+
1
2
=4m+
1
2
1
2
AB=m2
,
解得:m1=0,m2=2,
1
2
AB=m2≠0,
∵m=0不合題意,舍去;
∴m=2即AB=8,
∵∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠CDE=120°,
又∠ADB+∠BAD=180°-∠B=120°,
∴∠BAD=∠CDE,
又∵∠B=∠C=60°,
∴△ABD∽△DCE,
AB
DC
=
BD
CE
,
設(shè)BD=x,EA=y則DC=8-x,CE=8-y,
8
8-x
=
x
8-y
,
∴y=
1
8
x2-x+8=
1
8
(x-4)2+6.
∴當(dāng)BD=4,即D為BC的中點(diǎn)時,EA有最小值6.
點(diǎn)評:本題考查了韋達(dá)定理,相似三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點(diǎn).
通過相似三角形得出與所求線段相關(guān)的比例關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

26、已知:等邊△ABC中,當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上,點(diǎn)E在AC邊上,且BD=CE,連接AD、BE,交于點(diǎn)F,如圖(1)易證:∠AFE=∠ABD.當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上,點(diǎn)E在CA的延長線上;當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上,點(diǎn)E在AC的延長線上.而其它條件不變時,∠AFE與∠ABD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,并選出一種情況加以證明?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,等邊△ABC中,D為BC上一點(diǎn),DE∥AC交AB于C,M是AE上任意一點(diǎn)(M不與A、E重合),連DM,作DN平分∠MDC交AC于N.
(1)若BD=DC(如圖1),求證:EM+NC=DM;
(2)在(1)的條件下,如圖2,作DF⊥AC于F,若NF:FC=3:5,AM=4,連接MN將∠DMN沿MN翻折,翻折后的射線MD交AC于P,連接DP交MN于點(diǎn)Q,求PQ的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•東城區(qū)二模)已知:等邊△ABC中,點(diǎn)O是邊AC,BC的垂直平分線的交點(diǎn),M,N分別在直線AC,BC上,且∠MON=60°.
(1)如圖1,當(dāng)CM=CN時,M、N分別在邊AC、BC上時,請寫出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)CM≠CN時,M、N分別在邊AC、BC上時,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請你加以證明;若不成立,請說明理由;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上,點(diǎn)N在BC 的延長線上時,請直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,已知在等邊△ABC中,BD=CE,ADBE相交于點(diǎn)P,則∠APE=       度.

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