Question

如圖．已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與二次函數(shù)y=ax²+x-3的圖象相交于點(diǎn)A（4，5）
（1）求a和k的值；
（2）反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過(guò)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)？說(shuō)明理由．
（3）若二次函數(shù)圖象與x軸交于B、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．問(wèn)：反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△PBD的面積等于四邊形ABCD面積的2倍？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A（4，5）分別代入二次函數(shù)和反比例函數(shù)即可求出a和k的值；
（2）利用配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)驗(yàn)證即可知道反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過(guò)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)；
（3）令y=0，則有

1

4

x²+x-3=0，求出點(diǎn)D和B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出四邊形ABCD 的面積，設(shè)三角形PBD的高為h，有條件求出h的值即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與二次函數(shù)y=ax²+x-3的圖象相交于點(diǎn)A（4，5），
∴5=16a+4-3，5=

k

4

，
解得：a=

1

4

，k=20；

（2）反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，
由（1）知，二次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式分別是：
y=

1

4

x²+x-3和y=

20

x

，
∵y=

1

4

x²+x-3=

1

4

（x+2）²-4，
∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，-4）
∵x=-2時(shí)，y=

20

-2

=-10≠-4，
∴反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)；

（3）存在．
令y=0，則有

1

4

x²+x-3=0，
∴x²+4x-12=0
解得：x₁=-6，x₂=2，
∴D（-6，0），B（2，0）
∵C（0，-3）
∴S_ABCD=S_△ABD+S_△BDC=

1

2

×8×（3+5）=32，
∵S_△PBD=

1

2

×8×h，
當(dāng)4h=2×32時(shí)，h=16，
∴當(dāng)y=±16時(shí)，

20

x

=±16，x=±

5

4

，
∴反比例函數(shù)的圖象存在兩點(diǎn)P₁（

5

4

，16），P₂（-

5

4

，-16）使得△PBD的面積等于四邊形ABCD面積的2倍．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定的難度．