Question

在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=

m

x

（m＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，4）、B（a，b），其中a＞1．過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，垂足為C；過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線(xiàn)，垂足為D，AC與BD相交于點(diǎn)M，連接AB、AD、BC、CD．
（1）求m的值；
（2）求證：CD∥AB；
（3）當(dāng)AD=BC時(shí)，求直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)y=

m

x

（m＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，4），代入求出即可；
（2）根據(jù)解析式得出B、C、D、M的坐標(biāo)，然后分別表示出線(xiàn)段DM，MB，AM，MC的長(zhǎng)，可求出△CDM∽△ABM進(jìn)而得出CD∥AB；
（3）根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形以及四邊形ABCD為等腰梯形分別得出即可．

解答：（1）解：∵函數(shù)y=

m

x

（m＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，4），
∴代入求出：m=4；

（2）證明：由題意得：B(a，

4

a

)、C（1，0）、D（0，

4

a

）、M（1，

4

a

）
∴DM=1，MB=a-1，AM=4-

4

a

，MC=

4

a

∴

DM

MC

=

1

4 a

=

a

4

，

MB

AM

=

a-1

4- 4 a

=

a

4

∴

DM

MC

=

MB

AM

∵∠DMC=∠BMA
∴△CDM∽△ABM，
∴∠DCA=∠BAC
∴CD∥AB；

（3）解：設(shè)直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為y=kx+b
∵CD∥AB，AD=BC
∴四邊形ABCD為平行四邊形或等腰梯形
情況1：四邊形ABCD為平行四邊形
則DM=MB
∴a-1=1，a=2
∴B（2，2），
∵A（1，4）、B（2，2）在直線(xiàn)AB上，
把點(diǎn)A（1，4）、B（2，2）分別代入y=kx+b中

k+b=4 2k+b=2

，
解得：

k=-2 b=6

則直線(xiàn)解析式為：y=-2x+6，
情況2：四邊形ABCD為等腰梯形
則AC=BD
∴a=4，
∴B（4，1），
∵A（1，4）、B（4，1）在直線(xiàn)AB上，
把點(diǎn)A（1，4）、B（4，1）分別代入y=kx+b中

k+b=4 4k+b=1

，
解得：

k=-1 b=5

則直線(xiàn)解析式為：y=-x+5
綜上所述，直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為y=-2x+6或y=-x+5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定，此題綜合性較強(qiáng)是中考中重點(diǎn)題型，特別注意相似三角形的應(yīng)用是考查重點(diǎn)．