【題目】若矩形的一個(gè)短邊與長邊的比值為，（黃金分割數(shù)），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形

（1）操作：請(qǐng)你在如圖所示的黃金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD．

（2）探究：在（1）中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請(qǐng)予以證明；若不是，請(qǐng)說明理由．

（3）歸納：通過上述操作及探究，請(qǐng)概括出具體有一般性的結(jié)論（不需證明）

【答案】（1）見解析；（2）矩形EBCF不是黃金矩形，理由見解析；（3）若以黃金矩形的短邊為邊在矩形內(nèi)作（截割）正方形，則剩余矩形必為黃金矩形.

【解析】

（1）如圖，分兩種情況：正方形中，AD的對(duì)邊在矩形的內(nèi)部或外部；

（2）矩形EBCF不是黃金矩形， 設(shè)AB=a，AD=b（a＞b），則BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，由已知得=，所以==÷（1+）=÷（1+）=≠，對(duì)應(yīng)邊不成比例，故矩形EBCF不是黃金矩形；矩形E′BCF′是黃金矩形，

理由：==（1-）÷=（1-）÷=，即對(duì)應(yīng)邊成比例，故兩個(gè)矩形相似.

（3）由（1）、（2）可發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若以黃金矩形的短邊為邊在矩形內(nèi)作（截割）正方形，則剩余矩形必為黃金矩形.

解：（1）以AD為邊可作出兩個(gè)正方形AEFD與AE′F′D′（AB＞AD），如圖所示

（2）矩形EBCF不是黃金矩形，理由如下：

設(shè)AB=a，AD=b（a＞b），則BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，

由ABCD為黃金矩形，得=

∴==÷（1+）=÷（1+）=≠

∴矩形EBCF不是黃金矩形;

矩形E′BCF′是黃金矩形.

證明：如圖，∵==（1-）÷=（1-）÷=

∴E′BCF′是黃金矩形

（3）由（1）、（2）可發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若以黃金矩形的短邊為邊在矩形內(nèi)作（截割）正方形，則剩余矩形必為黃金矩形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在中，AB=AC，∠ABC =，D是BC邊上一點(diǎn)，以AD為邊作，使AE=AD，+=180°．

（1）直接寫出∠ADE的度數(shù)（用含的式子表示）；

（2）以AB，AE為邊作平行四邊形ABFE，

①如圖2，若點(diǎn)F恰好落在DE上，求證：BD=CD；

②如圖3，若點(diǎn)F恰好落在BC上，求證：BD=CF．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，線段AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且∠CAB=30°，設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為9時(shí)，則⊙O的直徑AB的長為_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】小林在沒有量角器和圓規(guī)的情況下，利用刻度尺和一副三角板畫出了一個(gè)角的平分線，他的做法是這樣的：如圖，

①利用刻度尺在∠AOB的兩邊OA，OB上分別取OM=ON；

②利用兩個(gè)三角板，分別過點(diǎn)M，N畫OM，ON的垂線，交點(diǎn)為P；

③畫射線OP．則射線OP為∠AOB的平分線．

（1）請(qǐng)寫出射線OP為∠AOB的平分線的證明過程．

（2）請(qǐng)根據(jù)你的證明過程，寫出小林的畫法的依據(jù)______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有不重合的兩個(gè)點(diǎn)Q（x1，y1）與P（x2，y2）．若Q，P為某個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)，且該直角三角形的直角邊均與x軸或y軸平行（或重合），則我們將該直角三角形的兩條直角邊的邊長之和稱為點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間的“折距”，記做DPQ．特別地，當(dāng)PQ與某條坐標(biāo)軸平行（或重合）時(shí)，線段PQ的長即點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間的“折距”．例如，在圖1中，點(diǎn)P（1，-1），點(diǎn)Q（3，-2），此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間的“折距”DPQ=3．

（1）①已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（3，-2），B（-1，0），則DAO=______，DBO=______．

②點(diǎn)C在直線y=-x+4上，請(qǐng)你求出DCO的最小值．

（2）點(diǎn)E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是直線y=3x+6上以動(dòng)點(diǎn)．請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)E與點(diǎn)F之間“折距”DEF的最小值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=2AB，F是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF．

（1）若∠ADC=80°，求∠ECF；

（2）求證：∠ECF=∠CEF．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,正方形的邊長為1,點(diǎn)與原點(diǎn)重合,點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至正方形的位置,與相交于點(diǎn),則的坐標(biāo)為____________．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為F．

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）已知M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與C點(diǎn)重合），試探究：

①使得以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②若探究①中的M點(diǎn)位于第四象限，連接M點(diǎn)與拋物線頂點(diǎn)F，試判斷直線MF與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC與⊙O相切于點(diǎn)C，點(diǎn)D為弧AC上的點(diǎn)，且2∠DAB﹣∠P＝90°，連接AD．

（1）如圖1，求證：弧AD＝弧BC；

（2）如圖2，PC＝6，PB＝，求∠ADC度數(shù)；

（3）如圖3，在（2）的條件下，F為AB下方⊙O上一點(diǎn)．∠ACF＝60°，L為OF中點(diǎn)，LK⊥AL于L，交CF于點(diǎn)K．連接AK，求AK的長．

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