Question

如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD邊上的點，四邊形AECF是⊙O的內接四邊形，且AC是⊙O的直徑．
（1）求證：BE=DF；
（2）若BA與⊙O相切，BC=10cm，BE：CE=3：2，求AC的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF；
（2）解：∵BA與⊙O相切，
∴∠BAC=90°，
∵BC=10cm，BE：CE=3：2，
∴CE=4cm，
∵∠ACE=∠BCA，
∴Rt△CAE∽Rt△CBA，
∴CA：CB=CE：CA，即CA：10=4：CA，
∴CA=2（cm）．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質得到AB=CD，∠B=∠D，再根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=∠CFD=90°，則可利用“AAS”判斷△ABE≌△CDF，所以BE=DF；
（2）根據(jù)切線的性質得∠BAC=90°，由于BC=10cm，BE：CE=3：2，則CE=4cm，再證明Rt△CAE∽Rt△CBA，所以CA：CB=CE：CA，即CA：10=4：CA，然后解方程得到AC的長．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理、平行四邊形的性質以及三角形全等、相似的判定與性質．