Question

如圖，兩個同心圓的圓心是O，大圓的半徑為10，小圓的半徑為6，AD是大圓的直徑．大圓的弦AB，BE分別與小圓相切于點C，F．AD，BE相交于點G，連接BD．

(1)求BD 的長；

(2)求∠ABE+2∠D的度數；

(3)求的值．（改編）

Answer 1

解： （1）連接OC，并延長BO交AE于點H，

∵AB是小圓的切線，C是切點，

∴OC⊥AB，

∴C是AB的中點． 

∵AD是大圓的直徑，

∴O是AD的中點．

∴OC是△ABD的中位線．

∴BD=2OC=12．    （4分）

（2） 連接AE，由（1）知C是AB的中點．

同理F是BE的中點．

由切線長定理得BC=BF．

∴BA=BE．                       

∴∠BAE=∠E．

∵∠E=∠D， 

∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180º． （4分） 

（3） 連接BO，在Rt△OCB中，

∵OB=10，OC=6，

∴BC=8． 

由（2）知∠OBG=∠OBC=∠OAC．

∵∠BGO=∠AGB，

∴△BGO∽△AGB．

∴             （4分）