Question

如圖，在平面直角標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？并求出此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為個(gè)平方單位？

Answer 1

【答案】分析：（1）用待定系數(shù)法可直接求出直線AB的解析式；
（2）用含t的代數(shù)式表示AP、AQ，根據(jù)三角形相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用相似比求出時(shí)間t；再利用相似比可求點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）利用相似比求出△APQ的AP邊上的高，根據(jù)面積公式列方程求t．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則解得∴y=-x+6；

（2）由題意可知AO=6，BO=8，則AB=10，且AP=t，BQ=2t，△APQ與△AOB相似有兩種情況：
①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，如圖（1），有=，即=，解得t=，
則OP=6-=，則P的坐標(biāo)是：（0，），
∵∠APQ=∠AOB，
∴PQ∥OB
∴=，
則，解得：PQ=，
則Q的坐標(biāo)是：（，）；
②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，如圖（2），有=，即=，解得t=，
則OP=OA-AP=6-=，
則P的坐標(biāo)是：（0，），
作QM⊥y軸，于M點(diǎn)．
△OAB與△QAP的相似比是：=，
△OAB的面積是：OA•OB=×6×8=24，
則△QAP的面積是：24×（）²=，
∵S_△QAP=AP•MQ，即=וMQ，
解得：MQ=，
∵M(jìn)Q∥OB
∴=，
則=，解得：AM=，
則OM=
故Q的坐標(biāo)是：（，）；

（3）過Q作QH⊥OA于H，如圖，
∴△AHQ∽△AOB，
∴=，
∴=，
∴HQ=（10-2t），
∴•t•（10-2t）=，
解得t=2或t=3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求直線解析式，直角坐標(biāo)系中的相似性質(zhì)的運(yùn)用，面積等問題．