Question

如圖，在平面直角標系中，已知點A（0，6），B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求t為何值時，△APQ與△AOB相似？并求出此時點P與點Q的坐標；
（3）當t為何值時，△APQ的面積為個平方單位？

Answer 1

解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
則解得∴y=-x+6；

（2）由題意可知AO=6，BO=8，則AB=10，且AP=t，BQ=2t，△APQ與△AOB相似有兩種情況：
①當∠APQ=∠AOB時，如圖（1），有=，即=，解得t=，
則OP=6-=，則P的坐標是：（0，），
∵∠APQ=∠AOB，
∴PQ∥OB
∴=，
則，解得：PQ=，
則Q的坐標是：（，）；
②當∠AQP=∠AOB時，如圖（2），有=，即=，解得t=，
則OP=OA-AP=6-=，
則P的坐標是：（0，），
作QM⊥y軸，于M點．
△OAB與△QAP的相似比是：=，
△OAB的面積是：OA•OB=×6×8=24，
則△QAP的面積是：24×（）²=，
∵S_△QAP=AP•MQ，即=וMQ，
解得：MQ=，
∵MQ∥OB
∴=，
則=，解得：AM=，
則OM=
故Q的坐標是：（，）；

（3）過Q作QH⊥OA于H，如圖，
∴△AHQ∽△AOB，
∴=，
∴=，
∴HQ=（10-2t），
∴•t•（10-2t）=，
解得t=2或t=3．
分析：（1）用待定系數(shù)法可直接求出直線AB的解析式；
（2）用含t的代數(shù)式表示AP、AQ，根據(jù)三角形相似的對應關系，利用相似比求出時間t；再利用相似比可求點P與點Q的坐標；
（3）利用相似比求出△APQ的AP邊上的高，根據(jù)面積公式列方程求t．
點評：本題考查了待定系數(shù)法求直線解析式，直角坐標系中的相似性質的運用，面積等問題．