Question

海中有一個(gè)小島A，它的周圍24海里內(nèi)有暗礁，魚船跟蹤魚群由西向東航行，在B點(diǎn)測得小島A在北偏東45°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，此時(shí)測得小島A在北偏東30°方向上．
（1）求小島A到D的距離；
（2）如果魚船不改變航線繼續(xù)向東航行，請(qǐng)問有沒有觸礁的危險(xiǎn)？并說明理由．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）首先過點(diǎn)A作AC⊥BD于點(diǎn)C，然后在Rt△ADC中，由∠ADC=60°，利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求得DC以及AD的長；
（2）又由C島的周圍24海里以內(nèi)有暗礁，比較AC與24的大小，即可得船繼續(xù)向東航行是否會(huì)有觸礁的可能．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AC⊥BD于點(diǎn)C，
∵在B點(diǎn)測得小島A在北偏東45°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，此時(shí)測得小島A在北偏東30°方向上，
∴∠ABC=45°，BD=12海里，∠ADC=60°，
∴AC=BC，
設(shè) CD=x，則AC=

3

x，
故12+x=

3

x，
解得：x=6（

3

+1），
則AD=2DC=12（

3

+1），
答：小島A到D的距離為12（

3

+1）海里；

（2）∵DC=6（

3

+1）海里，∴AC=6（

3

+1）×

3

=（18+6

3

）（海里）＞24海里，
故魚船不改變航線繼續(xù)向東航行，有觸礁的危險(xiǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了方向角的知識(shí)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意三角函數(shù)的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．