【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx過(guò)A(4,0),B(1,3)兩點(diǎn),點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,過(guò)點(diǎn)B作直線BH⊥x軸,交x軸于點(diǎn)H.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo),并求出△ABC的面積;
(3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于第四象限,當(dāng)△ABP的面積為6時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出此時(shí)△CMN的面積.
【答案】
(1)
解:把點(diǎn)A(4,0),B(1,3)代入拋物線y=ax2+bx中,
得 解得: ,
∴拋物線表達(dá)式為:y=﹣x2+4x;
(2)
解:點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3),
又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3),
∴BC=2,
∴S△ABC= ×2×3=3;
(3)
解:過(guò)P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D,
設(shè)點(diǎn)P(m,﹣m2+4m),
根據(jù)題意,得:BH=AH=3,HD=m2﹣4m,PD=m﹣1,
∴S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD,
6= ×3×3+ (3+m﹣1)(m2﹣4m)﹣ (m﹣1)(3+m2﹣4m),
∴3m2﹣15m=0,
m1=0(舍去),m2=5,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,﹣5).
(4)
解:以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí),分三類情況討論:
①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí),如圖2,CM=MN,∠CMN=90°,
則△CBM≌△MHN,
∴BC=MH=2,BM=HN=3﹣2=1,
∴M(1,2),N(2,0),
由勾股定理得:MC= = ,
∴S△CMN= × × = ;
②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí),如圖3,作輔助線,構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形:Rt△NEM和Rt△MDC,
得Rt△NEM≌Rt△MDC,
∴EM=CD=5,MD=NE=2,
由勾股定理得:CM= = ,
∴S△CMN= × × = ;
③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí),如圖4,CN=MN,∠MNC=90°,作輔助線,
同理得:CN= = ,
∴S△CMN= × × =17;
④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí),作輔助線,如圖5,同理得:CN= = ,
∴S△CMN= × × =5;
⑤以C為直角頂點(diǎn)時(shí),不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形,如圖6;
綜上所述:△CMN的面積為: 或 或17或5.
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=2寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3),根據(jù)面積公式求△ABC的面積;(3)因?yàn)辄c(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于第四象限,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(m,﹣m2+4m),利用差表示△ABP的面積,列式計(jì)算求出m的值,寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);(4)分別以點(diǎn)C、M、N為直角頂點(diǎn)分三類進(jìn)行討論,利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的長(zhǎng),利用面積公式進(jìn)行計(jì)算.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一副三角板按如圖所示疊放在一起,若固定,將繞著公共頂點(diǎn),按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度,當(dāng)的一邊與的某一邊平行時(shí),相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_________________。
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象交于A(2,﹣1),B( ,n)兩點(diǎn),直線y=2與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)直接寫出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系.
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【題目】如圖所示,將△ABC平移到△A′B′C′的位置,連接BB′,AA′,CC′,平移的方向是點(diǎn)______到點(diǎn)________的方向,平移的距離是線段______的長(zhǎng)度.
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【題目】如圖所示,
將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案,每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n是正整數(shù)且n>1)個(gè)點(diǎn),相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an , 則 + +…+ =( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BC的垂直平分線EF交∠ABC的平分線BD于E,如果∠BAC=60°,∠ACE=24°,那么∠BCE的大小是( 。
A. 24° B. 30° C. 32° D. 36°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2﹣5ax+4a與x軸交于A、B(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè))與y軸交于點(diǎn)C.
(1)如圖1,連接AC、BC,若△ABC的面積為3時(shí),求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點(diǎn)P為第四象限拋物線上一點(diǎn),連接PC,若∠BCP=2∠ABC時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo);
(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)F在AP上,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H點(diǎn),點(diǎn)K在PH的延長(zhǎng)線上,AK=KF,∠KAH=∠FKH,PF=﹣4 a,連接KB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q,求PQ的長(zhǎng).
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