Question

．已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是__________，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式__________；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）證△BFQ≌△AEQ即可；

（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可；

（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可．

【解答】解：（1）AE∥BF，QE=QF，

理由是：如圖1，∵Q為AB中點(diǎn)，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90°，

在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS），

∴QE=QF，

故答案為：AE∥BF；QE=QF．

（2）QE=QF，

證明：如圖2，延長FQ交AE于D，

∵Q為AB中點(diǎn)，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，

∴∠QAD=∠FBQ，

在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），

∴QF=QD，

∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，

∴QE=QF=QD，

即QE=QF．

（3）（2）中的結(jié)論仍然成立，

證明：如圖3，

延長EQ、FB交于D，

∵Q為AB中點(diǎn)，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，

∴∠1=∠D，

在△AQE和△BQD中，

，

∴△AQE≌△BQD（AAS），

∴QE=QD，

∵BF⊥CP，

∴FQ是斜邊DE上的中線，

∴QE=QF．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性質(zhì)是：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．