Question

【題目】如圖，四邊形是一張矩形紙片，，把紙片對(duì)折，折痕為，展開后再過(guò)點(diǎn)折疊該紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，且折痕與相交于點(diǎn)，再次展平后，連接，，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

（1）求證：是等邊三角形；

（2）求，的長(zhǎng)；

（3）為線段上一動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的最小值是　　　　．（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）,；（3）

【解析】

（1）連接AG，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出AG＝AB＝BG，由此得出△ABG為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出△EBF為等邊三角形．

（2）設(shè)AE=x，則BE=2x，根據(jù)勾股定理可求出AE的長(zhǎng)度，則BE的長(zhǎng)度可求，根據(jù)是等邊三角形求出BF的長(zhǎng)度，利用三角形中位線即可求出QG的長(zhǎng)度；

（3）根據(jù)題意可得出M點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于BE所在直線對(duì)稱，所以P與Q重合時(shí)，PH+PG的值最小，最小值為MG的長(zhǎng)度，進(jìn)而問(wèn)題可解．

（1）如圖，連接AG

∵MN垂直平分AB

∴AG＝BG

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得

AB＝BG，

∴AG＝AB＝BG．

∴△ABG為等邊三角形．

∴∠ABE=30°,∠AEB=∠GEB=60°

又∵∠EBF=60°

∴△EBF為等邊三角形

（2）由（1）得∠ABE＝30°

設(shè)AE=x，則BE=2x

∵AB=2，

∴

即 ，

∵△EBF為等邊三角形

∴

（3）根據(jù)條件易知M點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于BE所在直線對(duì)稱

∴P與Q重合時(shí)，PH+PG的值最小

又∵，

∴