Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線 BM交AE于點(diǎn)M，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)G，交 AB于點(diǎn)F．

   （1）（3分）求證：AE為⊙O的切線． 

   （2）（3分）當(dāng)BC=8，AC=12時(shí)，求⊙O的半徑．

   （3）（3分）在（2）的條件下，求線段BG的長．

Answer 1

（1）證明：連接OM.

        ∵AC=AB,AE平分∠BAC

        ∴AE⊥BC,CE=BE=BC=4

        ∵OB=OM  ∴∠OBM=∠OMB

        ∵BM平分∠ABC    ∴∠OBM=∠CBM

        ∴∠OMB=∠CBM   ∴OM∥DC

         又 ∵ AE⊥BC     ∴AE⊥OM

        ∴AE是⊙O的切線           

′

    （2） 設(shè)⊙O的半徑為R

          ∵OM∥BE ∴ΔOMA∽ΔBEA

          ∴=    即=

          解得   R=3

         ∴⊙O的半徑為3            

（3）過點(diǎn)O作OH⊥BG于點(diǎn)H,則BG=2BH

         ∵ ∠OME=∠MEH= ∠ EHO= 90°

        ∴四邊形OMEH是矩形

        ∴HE=OM=3

        ∴BH=1∴BG＝2BH＝2