Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，E、F、G、H分別在AD，AB，BC，CD上，且AF=BG=CH=DE=x，當x為何值時，四邊形EFGH的面積最��？

Answer 1

考點：正方形的性質,二次函數(shù)的最值,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：由題意易知AE=BF=CG=DH=1-x，證得△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH，得EF=FG=GH=HE，進一步得出四邊形EFGH是正方形，由正方形的面積建立二次函數(shù)求的最值即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=1，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AF=BG=CH=DE=x，
∴AE=BF=CG=DH=1-x，
∴△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH，
∴EF=FG=GH=HE，
且∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=180°-∠AFE-∠AEF=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．
S_{正方形EFGH}=EF²=AE²+AF²=（1-x）²+x²=2x²-2x+1，
∴當x=-

-2

2×2

時，S有最小值，
即x=

1

2

時，正方形EFGH的面積最�。�

點評：此題考查正方形的性質和判定，三角形全等的判定與性質，以及二次函數(shù)的性質等知識點，注意理清解答的思路與方法．