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【題目】按要求作圖
(1)已知△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,請畫一條直線,把這個三角形分割成兩個等腰三角形.(請你選用下面給出的備用圖,把所有不同的分割方法都畫出來.只需畫圖,不必說明理由,但要在圖中標出相等兩角的度數)

(2)已知△ABC中,∠C是其最小的內角,過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形,請?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關系.

【答案】
(1)解:如圖(共有2種不同的分割法).


(2)

解:設∠ABC=y,∠C=x,過點B的直線交邊AC于D.在△DBC中, ①若∠C是頂角,如圖1,

則∠CBD=∠CDB=90°﹣ x,∠A=180°﹣x﹣y.
而∠ADB>90°,此時只能有∠A=∠ABD,即180°﹣x﹣y=y﹣(90°﹣ x)
即3x+4y=540°,即∠ABC=135°﹣ ∠C;
②若∠C是底角,
第一種情況:如圖2,


當DB=DC時,則∠DBC=x,△ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y﹣x.
由AB=AD,得2x=y﹣x,此時有y=3x,即∠ABC=3∠C.
由AB=BD,得180°﹣x﹣y=2x,此時3x+y=180°,即∠ABC=180°﹣3∠C.
由AD=BD,得180°﹣x﹣y=y﹣x,此時y=90°,即∠ABC=90°,∠C為小于45°的任意銳角.
第二種情況,如圖3,


當BD=BC時,∠BDC=x,∠ADB=180°﹣x>90°,此時只能有AD=BD,
從而∠A=∠ABD= ∠C<∠C,這與題設∠C是最小角矛盾.
∴當∠C是底角時,BD=BC不成立.
綜上,∠ABC與∠C之間的關系是:∠ABC=135°﹣ ∠C或∠ABC=180°﹣3∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意角


【解析】(1)已知角度,要分割成兩個等腰三角形,可以運用直角三角形、等腰三角形性質結合三角形內角和定理,先計算出可能的角度,或者先從草圖中確認可能的情況,及角度,然后畫上.(2)在(1)的基礎上,由“特殊”到“一般”,需要把直角三角形分成兩個等腰三角形的各種情形列方程,可得出角與角之間的關系.

練習冊系列答案
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