Question

已知：平行四邊形ABCD中，對角線AC⊥AB，AB=15，AC=20，點(diǎn)P為射線BC上一動點(diǎn)，AP⊥PM（點(diǎn)M與點(diǎn)B分別在直線AP的兩側(cè)），且∠PAM=∠CAD，連接MD．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在平行四邊形內(nèi)時，BP=x，AP=y，求解析式，并求定義域．
（2）圖中是否存在與△AMD相似的三角形？請說明理由．
（3）當(dāng)△AMD為等腰三角形時，求BP的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）可先考慮臨界位置（點(diǎn)M在邊BC、DC上），從而得到自變量x的取值范圍，然后過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，如圖3，在Rt△AHP中，運(yùn)用勾股定理就可求出y與x的關(guān)系式．
（2）易證△APM∽△ACD，則有

AP

AC

=

AM

AD

．由∠PAM=∠CAD得∠PAC=∠MAD，就可得到△APC∽△AMD．
（3）由于△APC∽△AMD，因此可將△AMD為等腰三角形的問題轉(zhuǎn)化為△APC為等腰三角形的問題，就可解決問題．

解答：解：（1）考慮兩個臨界位置：
①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時，如圖1．

則∠APB=180°-∠APM=180°-90°=90°．
在RtABC中，
∵∠BAC=90°，AB=15，AC=20，
∴BC=

AB2+AC2

=25．
∵S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

BC•AP，
∴AP=

AB•AC

BC

=

15×20

25

=12．
在RtAPB中，
∵∠APB=90°，AB=15，AP=12，
∴BP=9．
②當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上時，此時點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，如圖2．

則BP=BC=25．
∴當(dāng)點(diǎn)M在平行四邊形內(nèi)時，x的取值范圍是9＜x＜25．
過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，如圖3．

則有AH=12，BH=9，在Rt△AHP中，
∵∠AHP=90°，AH=12，AP=y，PH=

.

x-9

.

，
∴12²+（x-9）²=y²．
整理得：y²=x²-18x+225．
∵y＞0，∴y=

x2-18x+225

．
∴y與x的關(guān)系式為y=

x2-18x+225

，定義域?yàn)?＜x＜25．

（2）存在與△AMD相似的三角形．
理由如下：
如圖3，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=25，DC=AB=15，AB∥DC．
∴∠ACD=∠BAC=90°．
∴∠APM=∠ACD=90°．
∵∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD．
∴

AP

AC

=

AM

AD

．
∵∠PAM=∠CAD，
∴∠PAC=∠MAD．
∴△APC∽△AMD．

（3）∵△APC∽△AMD，
∴

AP

AM

=

AC

AD

=

PC

MD

．
①若AM=AD，則AP=AC．
此時點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，
△AMD不存在，故舍去．
②若MA=MD，則PA=PC，如圖4．

∵PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠PAC=90°，∠ABC+∠BCA=90°．
∴∠BAP=∠ABC．
∴PA=PB．
∴PB=PC．
∴PB=

1

2

BC=

25

2

．
③若DA=DM，則CA=CP．
Ⅰ．點(diǎn)P在線段BC上，如圖5．

則CP=CA=20．
所以PB=BC-CP=25-20=5．
Ⅱ．點(diǎn)P在線段BC的延長線上，如圖6．

則CP=CA=20．
所以PB=BC+CP=25+20=45．
綜上所述：當(dāng)△AMD為等腰三角形時，BP的長為

25

2

或5或45．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識，考查了分類討論及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性．