Question

如圖，菱形ABCD中，一射線BE分∠ABC為∠ABE與∠CBE，且∠ABE：∠CBE=7：3，BE交對角線AC于F，交CD于E，過B作BK⊥AD于K點，交AC于M，且∠DAC=15°．
（1）求∠DEB的度數(shù)；
（2）求證：2CF=CM+2FB．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得∠BAD=2∠DAC，然后求出∠ABC，再根據(jù)比例求出∠ABE，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求解即可；
（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CBM=∠AKB=90°，取CM的中點G，連接BG，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BG=CG=

1

2

CM，再根據(jù)等邊對等角求出∠CBG=∠BCG=15°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BGM=30°，再求出∠GBF=30°，從而得到∠GBF=∠BMG，根據(jù)等角對等邊可得FB=FG，然后根據(jù)CF=CG+FG代入整理即可得證．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DAB=2∠DAC=2×5°=30°，
∠ABC=180°-∠DAB=180°-30°=150°，
∵∠ABE：∠CBE=7：3，
∴∠ABE=150°×

7

3+7

=105°，
∴∠DEB=180°-∠ABE=180°-105°=75°；

（2）證明：∵BK⊥AD，菱形的對邊AD∥BC，
∴∠CBM=∠AKB=90°，∠BCA=∠DAC=15°，
如圖，取CM的中點G，連接BG，
則BG=CG=

1

2

CM，
∴∠CBG=∠BCG=15°，
∵∠EBG=∠EBC-∠CBG=（150°-105°）-15°=30°，
∠BGM=∠CBG+∠BCA=15°+5°=30°，
∴∠GBF=∠BMG，
∴FB=FG，
∵CF=CG+FG，
∴CF=

1

2

CM+FB，
故2CF=CM+2FB．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，難點在于（2）根據(jù)2倍關(guān)系考慮到

1

2

，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半作出輔助線構(gòu)造出兩個等腰三角形，這也是解決本題的關(guān)鍵．