Question

如圖，直線y₁=

1

2

x+

5

2

與x軸、y軸分別交于點C、D，直線y₂=3x-5與x軸、y軸分別交于點B、A，兩直線交于點E．
（1）求點E的坐標；
（2）求∠CEA的度數(shù)；
（3）P（0，

9

2

）為y軸上一點，點M從點P出發(fā)以每秒1個單位的速度向點D運動，同時點Q從點D出發(fā)以每秒

5

個單位的速度向點C運動，運動時間為t，問t為何值S_△EMQ的面積最大？

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求交點坐標是一次函數(shù)中非常基礎題目，方法就是設交點坐標為（x，y），利用在圖象上的點一定滿足圖象的方程，因為交點同時在兩條直線上，那么它的坐標就同時滿足兩個直線方程，進而組成一元二次方程組，求得x，y，即得坐標．
（2）求角度一般考慮的特殊角或者特殊直角三角形等內(nèi)容，可是題目中∠CEA無法分割成特殊角的組合也不在特殊直角三角形中．既然（1）中求E點坐標，（3，4）表示OE的長度恰為5，而CO，AO也都為5，這里若以5為半徑作圓，⊙O恰好經(jīng)過E、C、A，且∠CEA為一個圓周角，其對應圓心角恰為直角，則角度可求．
（3）面積的最值問題，一般都是通過動點運動找到面積和時間t之間的函數(shù)關系，再利用函數(shù)最值性質(zhì)解決．本題中的△EMQ的底、高都不平行x軸或y軸，那如何簡易的表示其面積呢？分割，這是函數(shù)綜合題中常用的求三角形面積的方法，一般以其一個頂點做關于y軸的平行線，則三角形就分為兩個底、高平行x軸或y軸的小三角形，如此最終表示大三角形面積．本題就可以用S_△MEQ=S_△QMD+S_△EDM，結果易得．

解答：解：（1）設E（x，y），
∵直線y₁=

1

2

x+

5

2

與直線y₂=3x-5交于點E，
∴

y= 1 2 x+ 5 2 y=3x+5

，
解得

x=3 y=4

，
即E（3，4）．

（2）如圖，連接OE，過點E作EF⊥x軸于F，以O為圓心，CO的長為半徑畫圓．
在Rt△OEF中，
∵OF=3，EF=4，
∴OE=5．
∵直線y₁=

1

2

x+

5

2

與x軸、y軸分別交于點C、D，
∴C（-5，0），D（0，

5

2

）．
∵直線y₂=3x-5與x軸、y軸分別交于點B、A，
∴A（0，-5），B（

5

3

，0）．
∴CO=OA=OE=5，
∴A，E也都在⊙O上，
∴∠CEA=

1

2

∠COA=

1

2

•90°=45°．

（3）如圖，過點Q作QG⊥y軸于G，過點E作EH⊥y軸于H，
在Rt△COD中，
∵CO=5，OD=

5

2

，
∴CD=

5 2

2

，
∵QG∥CO，
∴

QD

DC

=

QG

CO

，
∵QD=

5

t，
∴QG=2t．
∵PD=

9

2

-

5

2

=2，PM=t，
∴MD=2-t，
∴S_△QMD=

1

2

QG•MD=

1

2

•2t•(2-t)=-t²+2t，
∵EF=3，
∴S_△EDM=

1

2

EF•MD=

1

2

•3•(2-t)=-

3

2

t+3，
∴S_△MEQ=S_△QMD+S_△EDM=-t2+

t

2

+3，（0≤t≤2）．
∴根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)，t=-

1 2

2•(-1)

=

1

4

時，S_△MEQ最大．

點評：本題考查了函數(shù)圖象與過其點的坐標的關系，也考查了圓的相關知識，這里提供了一種求角度的特殊思路，利用圓的特征來求，當然這需要足夠的前提條件．最后一問的動點面積最值問題是一個非常常規(guī)的題，考試中常見，需要加強要求．總而言之，本題是一道質(zhì)量很高的題目，同學們要深度體會其中運用的數(shù)學思想．