Question

如果拋物線C₁的頂點(diǎn)在拋物線C₂上，同時(shí)，拋物線C₂的頂點(diǎn)在拋物線C₁上，那么，我們稱拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)．
（1）已知兩條拋物線①：y=x²+2x-1，②：y=-x²+2x+1，判斷這兩條拋物線是否關(guān)聯(lián)，并說(shuō)明理由．
（2）拋物線C₁：y=

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8

（x+1）²-2，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），將拋物線C₁繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₂，若拋物線C₂與C₁關(guān)聯(lián)，求拋物線C₂的解析式．
（3）若A為拋物線C₁：y=

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8

（x+1）²-2的頂點(diǎn)，B是與C₁關(guān)聯(lián)的拋物線的頂點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到線段AB′，若點(diǎn)B′恰好在y軸上，求點(diǎn)B′的縱坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求得拋物線①的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后檢驗(yàn)是否此點(diǎn)在拋物線②與③上，再求得拋物線②的頂點(diǎn)坐標(biāo)，檢驗(yàn)是否在拋物線①上即可求得答案；
（2）首先求得拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可得：點(diǎn)P在直線y=2上，則可作輔助線：作M關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則可求得：點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式即可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)全等三角形的知識(shí)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求得B′點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵①拋物線y=x²+2x-1=（x+1）²-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-1，-2），
∴②當(dāng)x=-1時(shí)，y=-x²+2x+1=-1-2+1=-2，
∴點(diǎn)M在拋物線②上；
∴拋物線①與拋物線②有關(guān)聯(lián)；
∵拋物線②y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
經(jīng)驗(yàn)算：（1，2）在拋物線①上，
∴拋物線①、②是關(guān)聯(lián)的；

（2）拋物線C₁：y=

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8

（x+1）²-2的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-2），
∵動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），
∴點(diǎn)P在直線y=2上，
作M關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則ME=NF=4，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為6，
當(dāng)y=6時(shí)，

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8

（x+1）²-2=6，
解得：x₁=7，x₂=-9，
①設(shè)拋物C₂的解析式為：y=a（x-7）²+6，
∵點(diǎn)M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1-7）²+6，
∴a=-

1

8

．
∴拋物線C₂的解析式為：y=-

1

8

（x-7）²+6；
②設(shè)拋物C₂的解析式為：y=a（x+9）²+6，
∵點(diǎn)M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1+9）²+6，
∴a=-

1

8

．
∴拋物線C₂的解析式為：y=-

1

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（x+9）²+6； 
 
（3）若A為拋物線C₁：y=

1

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（x+1）²-2的頂點(diǎn)，
∴A（-1，-2），
∵點(diǎn)B′恰好在y軸上，
∴AN=1，
∵BA⊥B′A，
∴∠BAM+∠B′AN=90°，
∵∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠B′AN，
∵AB=AB′，
∴△ABM≌△B′AN，
∴BM=AN=1，AM=B′N(xiāo)，
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，
把y=-1代入y=

1

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（x+1）²-2
解得：x=-1+2

2

或x=-1-2

2

，
∴B′（0，2

2

-2）或（0，-2-2

2

），
∴點(diǎn)B′的縱坐標(biāo)是（0，2

2

-2）或（0，-2-2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．