Question

【題目】如圖，⊙O的半徑OA⊥OC，點(diǎn)D在上，且＝2，OA＝4．

（1）∠COD＝　　　　°；

（2）求弦AD的長(zhǎng)；

（3）P是半徑OC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP、PD，請(qǐng)求出AP＋PD的最小值，并說明理由．

（解答上面各題時(shí)，請(qǐng)按題意，自行補(bǔ)足圖形）

Answer 1

【答案】（1）30；（2）弦AD長(zhǎng)為4；（3）AP＋PD的最小值為，理由見解析.

【解析】（本小題滿分１２分）

解：（１）３０；……………………………………………………………………１分

（２）連結(jié)ＯＤ、ＡＤ（如圖２）．

∵ＯＡ⊥ＯＣ，∴∠ＡＯＣ＝９０°．∵＝２，

設(shè)所對(duì)的圓心角∠ＣＯＤ＝，………………………………………………１分

則∠ＡＯＤ＝，…………………………………………………………………２分

由∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＣ＝９０°，

得＋＝９０°，∴＝３０°，＝６０°，…………………………３分

即∠ＡＯＤ＝６０°，又∵ＯＡ＝ＯＤ，∴△ＡＯＤ為等邊三角形，…………４分

∴ＡＤ＝ＯＡ＝４；…………………………………………………………………５分

（３）過點(diǎn)Ｄ作ＤＥ⊥ＯＣ，交⊙Ｏ于點(diǎn)Ｅ，……………………………………１分

連結(jié)ＡＥ，交ＯＣ于點(diǎn)Ｐ（如圖３），………………………………………………２分

則此時(shí)，ＡＰ＋ＰＤ的值最小．

∵根據(jù)圓的對(duì)稱性，點(diǎn)Ｅ是點(diǎn)Ｄ關(guān)于ＯＣ的對(duì)稱點(diǎn)，

ＯＣ是ＤＥ的垂直平分線，即ＰＤ＝ＰＥ．………………………………………３分

∴ＡＰ＋ＰＤ＝ＡＰ＋ＰＥ＝ＡＥ，

若在ＯＣ上另取一點(diǎn)Ｆ，連結(jié)ＡＦ、ＦＤ及ＥＦ，

在△ＡＦＥ中，ＡＦ＋ＦＥ＞ＡＥ，

即ＡＦ＋ＦＥ＞ＡＰ＋ＰＤ，

∴可知ＡＰ＋ＰＤ最小．…………………………………………………………４分

∵∠ＡＥＤ＝∠ＡＯＤ＝３０°，

又∵ＯＡ⊥ＯＣ，ＤＥ⊥ＯＣ，∴ＯＡ∥ＤＥ，

∴∠ＯＡＥ＝∠ＡＥＤ＝３０°．

延長(zhǎng)ＡＯ交⊙Ｏ于點(diǎn)Ｂ，連結(jié)ＢＥ，∵ＡＢ為直徑，

∴△ＡＢＥ為直角三角形．由＝cos∠ＢＡＥ，……………………………５分

得ＡＥ＝ＡＢ·cos３０°＝２×４×＝，……………………………６分

即ＡＰ＋ＰＤ＝，

［也可利用勾股定理求得ＡＥ］