Question

如圖，在等邊△ABC中，DE∥BC，分別交AB、AC于D、E，AD=3cm，BC=7cm，P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)DP，過(guò)P點(diǎn)作PF交EC于F，使得∠DPF=∠B．
（1）求BD的長(zhǎng)？
（2）求證：△DBP∽△PCF；
（3）在BC邊上是否存在一點(diǎn)P，使得EF：FC=5：3？如果存在，求BP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AB=BC，再根據(jù)BD=AB-AD計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠DPC=∠B+∠BDP，然后求出∠BDP=∠CPF，再根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°求出∠B=∠C=60°，然后根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形是相似三角形證明；
（3）設(shè)BP=x，表示出CP，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CF，再求出EF，然后列出方程求解即可．

解答：（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=7cm，
∴BD=AB-AD=7-3=4cm；

（2）證明：有三角形的外角性質(zhì)得，∠DPC=∠B+∠BDP，
∵∠DPF=∠B，
∴∠BDP=∠CPF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴△DBP∽△PCF；

（3）解：設(shè)BP=x，則CP=7-x，
∵△DBP∽△PCF，
∴

BD

BP

=

CP

CF

，
∴CF=

BP•CP

BD

=

x•(7-x)

4

，
∵EF：FC=5：3，
∴CF=

5x•(7-x)

12

，
∵DE∥BC，
∴CE=BD=4cm，
∴

x•(7-x)

4

+

5x•(7-x)

12

=4，
整理得，x²-7x+6=0，
解得x₁=1，x₂=6，
經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意，
所以，存在這樣的點(diǎn)P滿足條件，且BP=1cm或BP=6cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（3）列出關(guān)于BP長(zhǎng)度的方程．