Question

【題目】已知：二次函數(shù)y=x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4（m為實(shí)數(shù)）的圖象與x軸交于A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）（x1≠x2）兩點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍；
（2）若 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數(shù)y=x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4（m為實(shí)數(shù)）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴△=9（m﹣1）2﹣4（3m﹣4）＞0，即（3m﹣5）2＞0，

∴3m﹣5≠0，即m≠ ；

；

解：∵二次函數(shù)y=x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4（m為實(shí)數(shù)）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴△=9（m﹣1）2﹣4（3m﹣4）＞0，即（3m﹣5）2＞0，

∴3m﹣5≠0，即m≠ ；

；解：∵二次函數(shù)y=x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4（m為實(shí)數(shù)）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴△=9（m﹣1）2﹣4（3m﹣4）＞0，即（3m﹣5）2＞0，

∴3m﹣5≠0，即m≠ ；
（2）

解：根據(jù)題意，x1、x2為方程x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4=0的兩根，

∴x1+x2=3（m﹣1），x1x2=3m﹣4，

∵ ，

∴OA+OB=2，

而OA=|x1|，OB=|x2|，

∴|x1|+|x2|=2，

當(dāng)x1+x2=3（m﹣1）＞0，x1x2=3m﹣4＞0，即m＞ 且m≠ ，則3（m﹣1）=2，解得m= （舍去）；

當(dāng)x1+x2=3（m﹣1）＜0，x1x2=3m﹣4＞0，m的值不存在；

當(dāng)x1x2=3m﹣4＜0，即m＜ ，則x1與x2異號(hào)，x12+x22﹣2x1x2=4，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，

∴9（m﹣1）2﹣4（3m﹣4）=4，

整理得3m2﹣10m+7=0，解得m1= （舍去），m2=1，

∴m的值為1．

【解析】（1）利用△=b2﹣4ac＞0拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)得到△=9（m﹣1）2﹣4（3m﹣4）＞0，然后解不等式即可得到m的取值范圍；（2）先判斷x1、x2為方程x2﹣3（m﹣1）x+3m﹣4=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=3（m﹣1），x1x2=3m﹣4，再由 得到|x1|+|x2|=2，接著分類討論x1和x2的符號(hào)去絕對(duì)值得到m的方程，然后解方程求出滿足條件的m的值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．即可以解答此題．