Question

已知直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于B（4，0），C（0，12）兩點(diǎn)．
（1）求k，b的值；
（2）若P（x，y）是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△POB為等腰三角形？這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題

分析：（1）將B與C坐標(biāo)代入直線解析式求出k與b的值即可；
（2）存在三個(gè)這樣的點(diǎn)P，使△POB為等腰三角形，分三種情況考慮：當(dāng)P₁O=PB時(shí)，當(dāng)BP₂=BO=4時(shí)，當(dāng)OP₃=OB=4時(shí)，分別求出P坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將B（4，0），C（0，12）代入直線解析式得：

4k+b=0 b=12

，
解得：k=-3，b=12；

（2）由（1）得到直線解析式為y=-3x+12，
當(dāng)P₁O=PB時(shí)，P₁橫坐標(biāo)為2，將x=2代入直線解析式得：y=6，此時(shí)P₁（2，6）；
當(dāng)BP₂=BO=4時(shí)，作P₂Q⊥x軸，可得△BP₂Q∽△BCO，
∴

P2Q

CO

=

BP2

BC

，即

P2Q

12

=

4

4 10

，
∴P₂Q=

6 10

5

，即P₂的縱坐標(biāo)為

6 10

5

，
將y=

6 10

5

代入直線解析式得：x=4-

2 10

5

，
此時(shí)P₂（4-

2 10

5

，

6 10

5

）；
當(dāng)OP₃=OB=4時(shí)，設(shè)P₃（x，-3x+12），
根據(jù)勾股定理得：x²+（-3x+12）²=4²，
解得：x=

16

5

或x=4（不合題意，舍去），
此時(shí)P₃坐標(biāo)為（

16

5

，

12

5

），
綜上，存在三個(gè)這樣的點(diǎn)P，使△POB為等腰三角形，坐標(biāo)分別為（2，6）或（4-

2 10

5

，

6 10

5

）或（

16

5

，

12

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．