Question

【題目】如圖的⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D、A分別作⊙O的切線交于點G，并與AB延長線交于點E．
（1）求證：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖，

∵DE為⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，

∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，

∴∠2+∠C=90°，

而OC⊥OB，

∴∠C+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∵∠1=∠3，

∴∠1=∠2

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，

∴OF=1，

∵∠1=∠2，

∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，

∵OD2+DE2=OE2，

∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，

∴DE=4，OE=5，

∵AG為⊙O的切線，

∴AG⊥AE，

∴∠GAE=90°，

而∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴ = ，即 = ，

∴AG=6．

【解析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥DE，則∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，則∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3，所以∠1=∠2；（2）由OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，在Rt△ODE中，DE=x，則EF=x，OE=1+x，根據(jù)勾股定理得32+x2=（x+1）2 ， 解得x=4，則DE=4，OE=5，根據(jù)切線的性質(zhì)由AG為⊙O的切線得∠GAE=90°，再證明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比可計算出AG．
【考點精析】利用切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．