Question

【題目】已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．
（1）求證：EG=CG；EG⊥CG．
（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖①中，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC= ，

∵EF⊥BD，

∴∠DEF=90°，

∵GF=GD，

∴EG=DG=GF= DF，GC=DG=GF= DF，

∴EG=GC，∠GED=∠GDE，∠GCD=∠GDC，

∵∠EGF=∠GED+∠GDE=2∠EDG，∠CGF=∠GCD+∠GDC=2∠GDC，

∴∠EGC=∠EGF+∠CGF=2∠EDG+2∠GDC=2（∠EDG+∠GDC）=90°，

∴EG⊥GC

（2）證明：圖②中，結論仍然成立．

理由：作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=90°，∠ABD=∠DBC=∠BDC=45°

∴GM=GN，

∵∠A=∠ANG=∠ADH=90°，

∴四邊形ANHD是矩形，

∴∠DHN=90°，∠GDH=∠HGD=45°，

∴HG=DH=AN，同理GH=CM，

∵∠ENG=∠A=∠BEF=90°，

∴EF∥GN∥AD，∵GF=GD，

∴AN=NE=GH=MC，

在△GNE和△GMC中，

，

∴△GNE≌△GMC，

∴GE=GC，∠NGE=∠MGC，

∴∠EGC=∠NGM=90°，

∴EG⊥GC．

【解析】（1）根據直角三角形斜邊中線的性質以及三角形外角定理即可證明．（2）作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H，只要證明△GNE≌△GMC即可解決問題．