如圖7,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點(diǎn),∠ABC=450,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,點(diǎn)D在線段AC上。
(1)證明:B、C、E三點(diǎn)共線;
(2)若M是線段BE的中點(diǎn),N是線段AD的中點(diǎn),證明:MN=OM;
(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(00<<900)后,記為△D1CE1(圖8),若M1是線段BE1的中點(diǎn),N1是線段AD1的中點(diǎn),M1N1=OM1是否成立?若是,請(qǐng)證明:若不是,說(shuō)明理由。
(1)證明:∵ AB是⊙O的直徑
∴ ∠ACB=90°
∵ ∠DCE=90°
∴∠ACB+∠DCE=180°
∴ B、C、E三點(diǎn)共線。
(2)證明:連接ON、AE、BD,延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)F
∵ ∠ABC=45°,∠ACB=90°
∴ BC=AC,又∠ACB=∠DCE=90°,DC=EC
∴ △BCD≌△ACE
∴ BD=AE,∠DBC=∠CAE
∴∠DBC+∠AEC=∠CAE+∠AEC=90°
∴ BF⊥AE
∵ AO=OB,AN=ND
∴ ON=BD,ON∥BD
∵ AO=OB,EM=MB
∴ OM=AE,OM∥AE
∴ OM=ON,OM⊥ON
∴ ∠OMN=45°,又 cos∠OMN=
∴
(3) 成立,證明同(2)。
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