Question

如圖，在⊙O中AB是直徑，D是上半圓中點，E是下半圓中點．點C是圓上一點（不與B、E重合）連接AD、BD、AC、BC．設(shè)BC長度為n，AC長度為m．
（1）當(dāng)m=8，n=6時，求四邊形ACBD的面積S；
（2）用含m、n的式子表示四邊形ACBD的面積S；
（3）你可知道tan∠DAC=

m+n

m-n

嗎？請你詳細(xì)說明理由；
（4）如圖，當(dāng)點C運動至弧AD或弧BD上時，（3）中結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請用含m、n的式子表示tan∠DAC．（直接寫答案）

Answer 1

分析：（1）過D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC于N；由于D是弧AB的中點，則AD=BD，可通過證△AMD≌△BDN來得出四邊形DMCN是正方形的結(jié)論，從而可將四邊形ACBD轉(zhuǎn)化為正方形DMCN的面積；
（2）同（1）；
（3）由（1）知：DM=MC=

1

2

（m+n），即可表示出AM的長，進(jìn)而可在Rt△AMD中，求出tan∠DAC的表達(dá)式，進(jìn)而可驗證所給出的結(jié)論是否正確；
（4）本題可通過作C點關(guān)于O點的對稱點進(jìn)行轉(zhuǎn)換，參照上面的解題思路，作出對應(yīng)的正方形，此時AC∥CN∥DM，那么∠CAD=∠ADM，此時發(fā)現(xiàn)本題與（3）題完全相同，所以結(jié)論和證法也相同．

解答：解：（1）49；（2分）

（2）（6分）S=

1

4

(m+n)2；

（3）解：①②如圖：
延長CB，過D點作DN垂直CB延長線于N，過D點作DM⊥MC于M．
∵∠DMC=∠ACB=∠N=90°
∴四邊形DMCN為矩形
∴MDN=90°又∠ADB=90°
∴∠1=∠2
∵

∠1=∠2 ∠AMD=∠DNB AD=BD

∴△AMD≌△DNB
∴AM=BN，DM=DN
∴矩形DMCN為正方形
∴AC+BC=MC+NC
∴DM=MC=CN=

m+n

2

∴S_{正方形DMCN}=MC²=S=

1

4

(m+n)2
∴AM=AC-MC=m-

m+n

2

=

m-n

2

∴tan∠DAC=

m+n

m-n

；（10分）

4）Ⅰ、當(dāng)點C運動至

AD

時tan∠DAC=

m-n

m+n

；
Ⅱ、當(dāng)點C運動至

BD

時tan∠DAC=

n-m

m+n

．（12分）
可通過做C點關(guān)于O點的對稱點進(jìn)行轉(zhuǎn)換（提示：tan∠CAD=tan∠ADM）再參照第②題的做法進(jìn)行解答（輔助線如圖，證明過程略）亦可連接AC、BD交于一點，或以CD為對角線構(gòu)造正方形進(jìn)行證明，請同學(xué)們自己思考．

點評：此題考查了圓周角定理、正方形和矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用能力，能夠發(fā)現(xiàn)四邊形ACBD與正方形的面積關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．