Question

（2010•蘇州）劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見圖①、②．圖①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；圖②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動(dòng)．在移動(dòng)過程中，D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上（移動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合）．
（1）在△DEF沿AC方向移動(dòng)的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸______．（填“不變”、“變大”或“變小”）
（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題：
問題①：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長為多少時(shí)，F(xiàn)、C的連線與AB平行？
問題②：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長為多少時(shí)，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？
問題③：在△DEF的移動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問題的解答過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，觀察圖形，F(xiàn)、C兩點(diǎn)間的距離逐漸變��；
（2）①因?yàn)椤螧=90°，∠A=30°，BC=6cm，所以AC=12cm，又因?yàn)椤螰DE=90°，∠DEF=45°，DE=4cm，所以DF=4cm，連接FC，設(shè)FC∥AB，則可求證∠FCD=∠A=30°，故AD的長可求；
②設(shè)AD=x，則FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16，再分情況討論：FC為斜邊；AD為斜邊；BC為斜邊．綜合分析即可求得AD的長；
③假設(shè)∠FCD=15°，因?yàn)椤螮FC=30°，作∠EFC的平分線，交AC于點(diǎn)P，則∠EFP=∠CFP=∠DFE+∠EFP=60°，所以PD=4cm，PC=PF=2FD=8cm，故不存在．
解答：解：（1）變小；

（2）問題①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm
∴AC=12cm
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4cm
∴DF=4cm
連接FC，設(shè)FC∥AB
∴∠FCD=∠A=30°
∴在Rt△FDC中，DC=4cm
∴AD=AC-DC=（12-4）cm
∴AD=（12-4）cm時(shí)，F(xiàn)C∥AB；
問題②：設(shè)AD=x，在Rt△FDC中，F(xiàn)C²=DC²+FD²=（12-x）²+16
∵AC=12cm，DE=4cm，
∴AD≤8cm，
（I）當(dāng)FC為斜邊時(shí)，
由AD²+BC²=FC²得，x²+6²=（12-x）²+16，x=；
（II）當(dāng)AD為斜邊時(shí)，
由FC²+BC²=AD²得，（12-x）²+16+6²=x²，x=＞8（不合題意舍去）；
（III）當(dāng)BC為斜邊時(shí)，
由AD²+FC²=BC²得，x²+（12-x）²+16=36，x²-12x+62=0，
方程無解，
∴由（I）、（II）、（III）得，當(dāng)x=cm時(shí)，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形；
另解：BC不能為斜邊，
∵FC＞CD，∴FC+AD＞12
∴FC、AD中至少有一條線段的長度大于6，
∴BC不能為斜邊，
∴由（I）、（II）、（III）得，當(dāng)x=cm時(shí)，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形；
問題③：解法一：不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°
理由如下：
假設(shè)∠FCD=15°
∵∠EFC=30°
作∠EFC的平分線，交AC于點(diǎn)P
則∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°
∴PD=4cm，PC=PF=2FD=8cm，
∴PC+PD=8+4＞12
∴不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°
解法二：不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°
假設(shè)∠FCE=15°AD=x
由∠FED=45°
得∠EFC=30°
作EH⊥FC，垂足為H．
∴HE=EF=2cm
CE=AC-AD-DE=（8-x）cm
且FC²=（12-x）²+16
∵∠FDC=∠EHC=90°
∠DCF為公共角
∴△CHE∽△CDF
∴=又（）²=（）²=
∴（）²=，即=整理后，得到方程x²-8x-32=0
∴x₁=4-4＜0（不符合題意，舍去）
x₂=4+4＞8（不符合題意，舍去）
∴不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°．
點(diǎn)評(píng)：本題把相似三角形的判定和勾股定理結(jié)合求解．綜合性強(qiáng)，難度大．考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．注意解題的方法不惟一，可讓學(xué)生采用不同方法求解，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．