(2010•蘇州)劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中,用硬紙片做了兩個直角三角形,見圖①、②.圖①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm;圖②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4cm.圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個實驗:他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起,并將△DEF沿AC方向移動.在移動過程中,D、E兩點始終在AC邊上(移動開始時點D與點A重合).
(1)在△DEF沿AC方向移動的過程中,劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn):F、C兩點間的距離逐漸______.(填“不變”、“變大”或“變小”)
(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究,編制了如下問題:
問題①:當(dāng)△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,F(xiàn)、C的連線與AB平行?
問題②:當(dāng)△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形?
問題③:在△DEF的移動過程中,是否存在某個位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出AD的長度;如果不存在,請說明理由.
請你分別完成上述三個問題的解答過程.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意,觀察圖形,F(xiàn)、C兩點間的距離逐漸變。
(2)①因為∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm,所以AC=12cm,又因為∠FDE=90°,∠DEF=45°,DE=4cm,所以DF=4cm,連接FC,設(shè)FC∥AB,則可求證∠FCD=∠A=30°,故AD的長可求;
②設(shè)AD=x,則FC2=DC2+FD2=(12-x)2+16,再分情況討論:FC為斜邊;AD為斜邊;BC為斜邊.綜合分析即可求得AD的長;
③假設(shè)∠FCD=15°,因為∠EFC=30°,作∠EFC的平分線,交AC于點P,則∠EFP=∠CFP=∠DFE+∠EFP=60°,所以PD=4cm,PC=PF=2FD=8cm,故不存在.
解答:解:(1)變。

(2)問題①:∵∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm
∴AC=12cm
∵∠FDE=90°,∠DEF=45°,DE=4cm
∴DF=4cm
連接FC,設(shè)FC∥AB
∴∠FCD=∠A=30°
∴在Rt△FDC中,DC=4cm
∴AD=AC-DC=(12-4)cm
∴AD=(12-4)cm時,F(xiàn)C∥AB;
問題②:設(shè)AD=x,在Rt△FDC中,F(xiàn)C2=DC2+FD2=(12-x)2+16
∵AC=12cm,DE=4cm,
∴AD≤8cm,
(I)當(dāng)FC為斜邊時,
由AD2+BC2=FC2得,x2+62=(12-x)2+16,x=;
(II)當(dāng)AD為斜邊時,
由FC2+BC2=AD2得,(12-x)2+16+62=x2,x=>8(不合題意舍去);
(III)當(dāng)BC為斜邊時,
由AD2+FC2=BC2得,x2+(12-x)2+16=36,x2-12x+62=0,
方程無解,
∴由(I)、(II)、(III)得,當(dāng)x=cm時,以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形;
另解:BC不能為斜邊,
∵FC>CD,∴FC+AD>12
∴FC、AD中至少有一條線段的長度大于6,
∴BC不能為斜邊,
∴由(I)、(II)、(III)得,當(dāng)x=cm時,以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形;
問題③:解法一:不存在這樣的位置,使得∠FCD=15°
理由如下:
假設(shè)∠FCD=15°
∵∠EFC=30°
作∠EFC的平分線,交AC于點P
則∠EFP=∠CFP=15°,∠DFE+∠EFP=60°
∴PD=4cm,PC=PF=2FD=8cm,
∴PC+PD=8+4>12
∴不存在這樣的位置,使得∠FCD=15°
解法二:不存在這樣的位置,使得∠FCD=15°
假設(shè)∠FCE=15°AD=x
由∠FED=45°
得∠EFC=30°
作EH⊥FC,垂足為H.
∴HE=EF=2cm
CE=AC-AD-DE=(8-x)cm
且FC2=(12-x)2+16
∵∠FDC=∠EHC=90°
∠DCF為公共角
∴△CHE∽△CDF
=又(2=(2=
∴(2=,即=整理后,得到方程x2-8x-32=0
∴x1=4-4<0(不符合題意,舍去)
x2=4+4>8(不符合題意,舍去)
∴不存在這樣的位置,使得∠FCD=15°.
點評:本題把相似三角形的判定和勾股定理結(jié)合求解.綜合性強(qiáng),難度大.考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力.注意解題的方法不惟一,可讓學(xué)生采用不同方法求解,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.
練習(xí)冊系列答案
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(1)在△DEF沿AC方向移動的過程中,劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn):F、C兩點間的距離逐漸______.(填“不變”、“變大”或“變小”)
(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究,編制了如下問題:
問題①:當(dāng)△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,F(xiàn)、C的連線與AB平行?
問題②:當(dāng)△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形?
問題③:在△DEF的移動過程中,是否存在某個位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出AD的長度;如果不存在,請說明理由.
請你分別完成上述三個問題的解答過程.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011年河北省保定市博野縣中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

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(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究,編制了如下問題:
問題①:當(dāng)△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,F(xiàn)、C的連線與AB平行?
問題②:當(dāng)△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形?
問題③:在△DEF的移動過程中,是否存在某個位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出AD的長度;如果不存在,請說明理由.
請你分別完成上述三個問題的解答過程.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《圖形的相似》(04)(解析版) 題型:解答題

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問題①:當(dāng)△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,F(xiàn)、C的連線與AB平行?
問題②:當(dāng)△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形?
問題③:在△DEF的移動過程中,是否存在某個位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出AD的長度;如果不存在,請說明理由.
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(1)在△DEF沿AC方向移動的過程中,劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn):F、C兩點間的距離逐漸______.(填“不變”、“變大”或“變小”)
(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究,編制了如下問題:
問題①:當(dāng)△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,F(xiàn)、C的連線與AB平行?
問題②:當(dāng)△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形?
問題③:在△DEF的移動過程中,是否存在某個位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出AD的長度;如果不存在,請說明理由.
請你分別完成上述三個問題的解答過程.

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