Question

如圖1，有一座拋物線型拱橋，漲潮時(shí)橋內(nèi)水面寬AB為8米，落潮時(shí)水位下降5米，橋內(nèi)水面寬CD為12米．

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求此拋物線的解析式；
（2）如圖2，某種貨船在水面上的部分的橫截面是梯形EFGH，且HE=FG，EF=

2

HE，∠GHE=45°．試問落潮時(shí)，能順利通過拱橋的這種貨船在水面上的部分最大高度是多少？

Answer 1

分析：（1）可以CD所在的直線為x軸，線段CD的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則此拋物線的對(duì)稱軸為y軸，故可設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+c，再將B（4，5），D（6，0）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式；
（2）落潮時(shí)，水位在CD，此時(shí)EF落在CD上，如圖，過點(diǎn)作EM⊥HG于點(diǎn)M，求出EM即可．設(shè)EM=h，則可用含h的代數(shù)式G點(diǎn)的坐標(biāo)為（2h，h），然后把G點(diǎn)的坐標(biāo)代入（1）中所求的解析式y(tǒng)=-

1

4

x²+9中，得到關(guān)于h的方程，求解即可．

解答：解：（1）以CD所在的直線為x軸，線段CD的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
∵AB為8米，落潮時(shí)水位下降5米，橋內(nèi)水面寬CD為12米．
∴B（4，5），D（6，0）．
拋物線的解析式可設(shè)為：y=ax²+c．
由題意得：

36a+c=0 16a+c=5

，
解得

a=- 1 4 c=9

，
∴y=-

1

4

x²+9；

（2）過點(diǎn)作EM⊥HG于點(diǎn)M．
∵∠GHE=45°，∴EM=HM．
設(shè)EM=HM=h，則EH=

2

HM，
∴EF=

2

EH=2HM=2h，
∴G（2h，h），
∴h═-

1

4

（2h）²+9，
解得：h₁=

-1+ 37

2

，h₂=

-1- 37

2

（不合題意，舍去）
故落潮時(shí)，能順利通過拱橋的這種貨船在水面上的部分最大高度是

-1+ 37

2

米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的應(yīng)用，難度中等．注意（1）中如果選取不同的坐標(biāo)系，那么求得的解析式也不同，本問答案不唯一；（2）中設(shè)出EM=h，則用含h的代數(shù)式表示G點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．