【題目】在數(shù)學興趣小組活動中,小明進行數(shù)學探究活動,將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置,ADAE在同一直線上,ABAG在同一直線上.連接DG,BE,易得DG=BEDGBE(不需要說明理由)

(1)如圖2,小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為30180

①連接DG,BE,求證:DG=BEDGBE;

②在旋轉(zhuǎn)過程中,如圖3,連接BG,GE,ED,DB,求出四邊形BGED面積的最大值.

(2)如圖4,分別取BG,GE,ED,DB的中點M,N,P,Q,連接MN,NP,PQ,QM,則四邊形MNPQ的形狀為 ,四邊形MNPQ面積的最大值是 ,

【答案】(1)①證明見解析;②四邊形BGED面積的最大值為6+4;(2)正方形,3+2.

【解析】

1)①由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形,利用正方形的性質(zhì)得到兩對邊相等,且夾角相等,利用SAS得到三角形ADG與三角形ABE全等,利用全等三角形對應角相等得DG=BE,∠AGD=AEB,如圖所示,EBAG于點H,利用等角的余角相等得到∠GMH =90°,利用垂直的定義即可得DGBE;

②根據(jù)①可知旋轉(zhuǎn)過程中,DG=BEDGBE;當BE取得最大值,即點A,B,E在同一條直線上時,四邊形BGED面積有最大值.

(2)根據(jù)中點四邊形的性質(zhì)可知四邊形MNPQ是正方形,邊長的最大值為

四邊形MNPQ面積的最大值是:

(1) ①∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形,

AD=AB,DAB=GAE=,AG=AE

DAB+GAB=GAB +GAE

DAG=BAE

ADGABE中,

ADGABE(SAS)

∴∠AGD=AEB,DG=BE,

如圖所示,EBAG于點H,

AEH,AEH+AHE=

AEH=BHG,

∴∠AGD+BHG=,

HGM, AGD+BHG +GMH=

∴∠GMH=,

DGBE;

②根據(jù)①可知旋轉(zhuǎn)過程中,DG=BEDGBE;

BE取得最大值,即點A,B,E在同一條直線上時,四邊形BGED面積有最大值.

此時:DG=BE

四邊形BGED面積

(2)連接BE,DG

根據(jù)中位線的性質(zhì)可得

,,

四邊形MNPQ是正方形,邊長的最大值為

四邊形MNPQ面積的最大值是:

故答案為:正方形,3+2.

練習冊系列答案
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【題目】已知:ABC中,且∠BAC70°,ADABC的角平分線,點EAC邊上的一點,點F為直線AB上的一動點,連結(jié)EF,直線EF與直線AD交于點P,設∠AEFα°

(1)如圖①,若 DE//AB,則①∠ADE的度數(shù)是_______;

②當∠DPE=∠DEP時,∠AEF= _____:當∠PDE=∠PED,∠AEF=_______;

(2)如圖②,若DEAC,則是否存在這樣的α的值,使得DPE中有兩個相等的角?若存在求出α的值;若不存在,說明理由

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1ABC的面積為   

2)將ABC繞原點O 旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后的A1B1C1

3)將ABC向右平移4個單位長度,畫出平移后的A2B2C2;

4A1B1C1A2B2C2成中心對稱嗎?若是,請直接寫出對稱中心的坐標:   

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【題目】每到春夏交替時節(jié),雌性楊樹會以滿天飛絮的方式來傳播下一代,漫天飛舞的楊絮易引發(fā)皮膚病、呼吸道疾病等,給人們造成困擾,為了解市民對治理楊絮方法的贊同情況,某課題小組隨機調(diào)查了部分市民(問卷調(diào)查表如表所示),并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖.

治理楊絮一一您選哪一項?(單選)

A.減少楊樹新增面積,控制楊樹每年的栽種量

B.調(diào)整樹種結(jié)構(gòu),逐漸更換現(xiàn)有楊樹

C.選育無絮楊品種,并推廣種植

D.對雌性楊樹注射生物干擾素,避免產(chǎn)生飛絮

E.其他

根據(jù)以上統(tǒng)計圖,解答下列問題:

(1)本次接受調(diào)查的市民共有  人;

(2)扇形統(tǒng)計圖中,扇形E的圓心角度數(shù)是   ;

(3)請補全條形統(tǒng)計圖;

(4)若該市約有90萬人,請估計贊同選育無絮楊品種,并推廣種植的人數(shù).

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【題目】已知:在四邊形中,對角線相交于點,且,作,垂足為點,交于點.

1)如圖中的圖1,求證:;

2)如圖中的圖2,的中點,若,在不添加任何輔助線的情況下,請找出圖中的四個三角形,使得每個三角形的面積都等于面積的倍,并說明理由.

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【題目】(1)同題情境:如圖1,ABCD,∠PAB=130°,∠PCD=120°.求∠APC的度數(shù).

小明想到一種方法,但是沒有解答完:

如圖2,過PPEAB,∴∠APE+∠PAB=180°.

∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°.

ABCD.∴PECD.

…………

請你幫助小明完成剩余的解答.

(2)問題遷移:請你依據(jù)小明的思路,解答下面的問題

如圖3,ADBC,P在射線OM上運動,∠MDP=∠α,∠BCP=∠β.

當點PA、B兩點之間時,∠CPD,∠α,∠β之間有何數(shù)量關系?請說明理由.

②當點PA、B兩點外側(cè)時(點P與點O不重合),請直接寫出∠CPD,∠α,∠β之間的數(shù)量關系.

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