Question

（2005•蕪湖）如圖1所示為一上面無(wú)蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其剪開展成平面圖，如圖2所示．已知展開圖中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1．
（1）求在該展開圖中可畫出最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度這樣的線段可畫幾條？
（2）試比較立體圖中∠BAC與平面展開圖中∠B′A′C′的大小關(guān)系？

Answer 1

【答案】分析：（1）由長(zhǎng)方形中最長(zhǎng)的線段為對(duì)角線，從而可根據(jù)已知運(yùn)用勾股定理求得最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，又因?yàn)檎归_圖形中有兩個(gè)長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形有兩條對(duì)角線，知這樣的線段可畫4條；
（2）要確定角的大小關(guān)系，一般把兩個(gè)角分別放在兩個(gè)三角形中，然后根據(jù)三角形的特點(diǎn)或者全等或者相似形來(lái)解．
解答：解：（1）在平面展開圖中可畫出最長(zhǎng)的線段長(zhǎng)為，（1分）
如圖（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′=1，A′D′=3，由勾股定理得，
∴．（3分）
答：這樣的線段可畫4條（另三條用虛線標(biāo)出）．（4分）


（2）∵立體圖中∠BAC為平面等腰直角三角形的一銳角，∴∠BAC=45°．（5分）
在平面展開圖中，連接線段B′C′，由勾股定理可得：A'B'=，B'C'=．（7分）
又∵A′B′²+B′C′²=A′C′²，
由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'為直角三角形．
又∵A′B′=B′C′，∴△A′B′C′為等腰直角三角形．（8分）
∴∠B′A′C′=45°．（9分）
∴∠BAC與∠B′A′C′相等．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了展開與折疊，等腰直角三角形，勾股定理的知識(shí)，是一道綜合性比較強(qiáng)的題，難度中等．