(2005•蕪湖)如圖1所示為一上面無蓋的正方體紙盒,現(xiàn)將其剪開展成平面圖,如圖2所示.已知展開圖中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1.
(1)求在該展開圖中可畫出最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度這樣的線段可畫幾條?
(2)試比較立體圖中∠BAC與平面展開圖中∠B′A′C′的大小關(guān)系?

【答案】分析:(1)由長(zhǎng)方形中最長(zhǎng)的線段為對(duì)角線,從而可根據(jù)已知運(yùn)用勾股定理求得最長(zhǎng)線段的長(zhǎng),又因?yàn)檎归_圖形中有兩個(gè)長(zhǎng)方形,每個(gè)長(zhǎng)方形有兩條對(duì)角線,知這樣的線段可畫4條;
(2)要確定角的大小關(guān)系,一般把兩個(gè)角分別放在兩個(gè)三角形中,然后根據(jù)三角形的特點(diǎn)或者全等或者相似形來解.
解答:解:(1)在平面展開圖中可畫出最長(zhǎng)的線段長(zhǎng)為,(1分)
如圖(1)中的A′C′,在Rt△A′C′D′中,∵C′D′=1,A′D′=3,由勾股定理得,
.(3分)
答:這樣的線段可畫4條(另三條用虛線標(biāo)出).(4分)


(2)∵立體圖中∠BAC為平面等腰直角三角形的一銳角,∴∠BAC=45°.(5分)
在平面展開圖中,連接線段B′C′,由勾股定理可得:A'B'=,B'C'=.(7分)
又∵A′B′2+B′C′2=A′C′2
由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'為直角三角形.
又∵A′B′=B′C′,∴△A′B′C′為等腰直角三角形.(8分)
∴∠B′A′C′=45°.(9分)
∴∠BAC與∠B′A′C′相等.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了展開與折疊,等腰直角三角形,勾股定理的知識(shí),是一道綜合性比較強(qiáng)的題,難度中等.
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(2)試比較立體圖中∠BAC與平面展開圖中∠B′A′C′的大小關(guān)系?

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