Question

在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A（－3,0）、B（4,0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負半軸上，且BD＝BC，有一動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動.

【小題1】求該拋物線的解析式；
【小題2】若經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；
【小題3】該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【小題1】∵拋物線經(jīng)過A（－3,0），B（4,0）兩點，
∴ 
解得
∴所求拋物線的解析式為.
【小題1】如圖，依題意知AP＝t，連接DQ，

由A（－3,0），B（4,0），C（0,4），
可得AC＝5，BC＝，AB＝7.
∵BD＝BC，
∴.
∵CD垂直平分PQ，
∴QD＝DP，∠CDQ= ∠CDP.
∵BD＝BC，
∴∠DCB= ∠CDB.
∴∠CDQ= ∠DCB.
∴DQ∥BC. 
∴△ADQ∽△ABC.
∴.
∴.
∴.
解得 .
∴
∴線段PQ被CD垂直平分時，t的值為.
【小題1】設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點E.
點A、B關(guān)于對稱軸對稱，連接BQ交該對稱軸于點M.

則，即.
當BQ⊥AC時，BQ最小. 
此時，∠EBM= ∠ACO.
∴.
∴.
∴，解得.
∴M（，）.
即在拋物線的對稱軸上存在一點M（，），使得
MQ＋MA的值最小.解析:
【小題1】把A、B兩點坐標代入求出拋物線的解析式；
【小題1】連接DQ，先求出△ADQ∽△ABC.得出，從而求出t的值；
【小題1】∵MQ+MA=BM，∴只需找到B點到AC的長度最短，即過B點作BQ⊥AC，BQ最短，然后求出BQ與對稱軸的交點M的坐標。