在正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AC、BE交于F點(diǎn)．

求證：CF2＝CA·AF．

答案：
解析：

作正五邊形ABCDE的外接圓⊙O，如圖所示．∵五邊形ABCDE是正五邊形，圓周，即的度數(shù)都等于，

∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABF＝，∴△ABF∽△ACB，∴AF∶AB＝AB∶AC，∴AB2＝CA·AF．在△CBF中，∠BCF＝36°，∠CBF＝72°，∴∠BFC＝180°－∠BCF－∠CBF＝72°，∴CF＝CB，又AB＝CB，∴CF＝AB，∴CF2＝CA·AF．


提示：

在解決有關(guān)正多邊形的問題中，可以利用正多邊形與圓的特殊關(guān)系，作出正多邊形的外接圓或內(nèi)切圓，再利用正多邊形的一些性質(zhì)，將會(huì)得到一些結(jié)論，為進(jìn)一步的證明提供很多條件．因此，作正多邊形的外接圓或內(nèi)切圓是常用到的輔助線．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

24、問題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下命題：
如圖①，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若CM=DN，則∠BON=108°．
該小組提出了一個(gè)大膽的猜想：如圖②，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、EA上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若DM=EN，則∠BON=108°．
請(qǐng)問他們的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)寫出解答過程；若不正確，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

問題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：
精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)
①如圖1，在正三角形ABC中，M，N分別是AC，AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=60°，則BM=CN；
②如圖2，在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=90°，則BM=CN．
然后運(yùn)用類比的思想提出了如下命題；
③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°，則BM=CN．任務(wù)要求：
（1）請(qǐng)你從①，②，③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；
（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：
①如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，試問當(dāng)∠BON等于多少度時(shí)，結(jié)論BM=CN成立；（不要求證明）
②如圖5，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°時(shí)，試問結(jié)論BM=CN是否還成立．若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

知識(shí)回顧：
（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，我們把△DEF稱為△ABC的中點(diǎn)三角形．則S△DEF：S△ABC=
 
；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，我們把四邊形EFGH稱為正方形ABCD的中點(diǎn)四邊形，此時(shí)四邊形EFGH的形狀是
 
，S四邊形EFGH：S四邊形ABCD=
 
；
（3）實(shí)踐探究：
如圖3，在正五邊形ABCDE中，若點(diǎn)F、G、H、M、N分別是邊AB、BC、CD、DE、EA的中點(diǎn)，則中點(diǎn)五邊形FGHMN的形狀是
 
；若正五邊形ABCDE的中心為點(diǎn)O，連接OE、ON，求S五邊形FGHMN：S五邊形ABCDE的值．
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（4）拓展歸納：
在正n邊形A1A2 …An中，若點(diǎn)B1、B2 …Bn分別是邊A1A2、A2A3、…、AnA1的中點(diǎn)，則中點(diǎn)n邊形B1B2 …Bn的面積與正n邊形A1A2 …An的面積之比為Sn邊形B1B2…Bn：Sn邊形A1A2…An=
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

7、如圖，在正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AD，AC與EB分別相交于點(diǎn)M，N．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•臺(tái)灣）如圖，甲、乙兩人想在正五邊形ABCDE內(nèi)部找一點(diǎn)P，使得四邊形ABPE為平行四邊形，其作法如下：
（甲） 連接BD、CE，兩線段相交于P點(diǎn)，則P即為所求
（乙） 先取CD的中點(diǎn)M，再以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交AM于P點(diǎn)，則P即為所求．
對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（　�。�

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